2017年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合M={x|（x﹣1）（x﹣4）=0}，N={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（）

A、∅ B、{1} C、{4} D、{1，4}

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2. 已知复数z=1+i，则 $\frac{z^{2}}{z - 1}$ =（）

A、﹣2 B、2 C、2i D、﹣2i

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3. 已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2} ， \sin α)$ ， $\vec{b} = (\sin α ， 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则锐角α为（）

A、30° B、60° C、45° D、75°

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4. 设a=log₃10，b=log₃7，则3^a^﹣^b=（）

A、 $\frac{10}{49}$ B、 $\frac{49}{10}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{10}{7}$

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5. 已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁ ， a₃ ， a₄成等比数列，则a₂等于（）

A、﹣4 B、﹣6 C、﹣8 D、﹣10

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6. 如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8 $\sqrt{2}$ 的矩形，则该几何体的表面积是（）

A、20+8 $\sqrt{2}$ B、24+8 $\sqrt{2}$ C、8 D、16

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7. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出S=（）

A、10 B、17 C、19 D、36

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8. 已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x²+y²=r²内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r² ，那么（）

A、m∥l，且l与圆相交 B、m⊥l，且l与圆相切 C、m∥l，且l与圆相离 D、m⊥l，且l与圆相离

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9. 设sin（ $\frac{π}{4}$ +θ）= $\frac{1}{3}$ ，则sin2θ=（）

A、﹣ $\frac{1}{9}$ B、﹣ $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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10. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（）

A、9：4 B、4：3 C、3：1 D、3：2

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11. 已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）

A、x=1 B、x=﹣1 C、x=2 D、x=﹣2

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12. 已知α，β是三次函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} + 2 b x$ 的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则 $\frac{b - 2}{a - 1}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. ${(2 x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，x³的系数是（用数学填写答案）．

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14. a＞1，则 $a + \frac{1}{a - 1}$ 的最小值是．

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15. 如果函数f（x）=sin（2x+θ），函数f（x）+f'（x）为奇函数，f'（x）是f（x）的导函数，则tanθ= ．

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16. 已知正数数列{a_n}的前n项和 $S_{n} = \frac{1}{4} {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，则a_n= ．

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC=（2a﹣c）cosB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若c=2，b=3，求△ABC的面积．

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18. 某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
信息技术
生物
化学
物理
数学
周一
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
周三
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
周五
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
根据上表：

(1)、求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

(2)、设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

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19. 如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．

(1)、求证：平面PBD⊥平面PAC；

(2)、求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两焦点之间的距离为4．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过椭圆的右顶点作直线交抛物线y²=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (x - 2) - \frac{x^{2}}{2 a}$ （a为常数，a≠0）．

(1)、当a=1时，求函数f（x）在点（3，f（3））的切线方程

(2)、求f（x）的单调区间；

(3)、若f（x）在x₀处取得极值，且 $x_{0} \notin [e + 2 ， e^{3} + 2]$ ，而f（x）≥0在[e+2，e³+2]上恒成立，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）

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22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a + \sqrt{3} t \\ y = t \end{matrix}$ ，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|（m∈R）

(1)、当m=3时，求函数f（x）的最大值；

(2)、解关于x的不等式f（x）≥0．

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	信息技术	生物	化学	物理	数学
周一	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
周三	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
周五	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$