2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合A={x|x²﹣3x﹣10＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩（∁_RB）等于（）

A、（﹣2，4） B、[4，5） C、（﹣3，﹣2） D、（2，4）

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2. 已知 $\bar{z}$ 是z的共轭复数，若 $\bar{z} + z = 2 ， (\bar{z} - z) i = 2$ （其中i为虚数单位），则z的值为（）

A、1﹣i B、﹣1﹣i C、﹣1+i D、1+i

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3. 函数f（x）=2x﹣sinx的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像上各点沿x轴向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{7 π}{2} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ C、 $(\frac{5 π}{8} ， 0)$ D、 $(\frac{2 π}{3} ， - 3)$

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5. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为16，24，则输出的a的值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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6. 设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）

A、a⊥α，b∥β，α⊥β B、a⊥α，b⊥β，α∥β C、a⊂α，b⊥β，α∥β D、a⊂α，b∥β，α⊥β

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7. 已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{2 π}{3})$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $- \frac{8}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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8. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x³（x＞0）和曲线y= $\sqrt{x}$ 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{64 π}{3} + 2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{56 π}{3} + 4 \sqrt{3}$ C、18π D、22π+4

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} + 1 ， x \leq 1 \\ 1 - \log_{2} x ， x > 1 \end{matrix}$ ，则满足不等式f（1﹣m²）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（）

A、（﹣3，1） B、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、（﹣3，1）∪ $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， \frac{3}{2})$

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11. 三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$ ﹣ $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时， $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）

A、 $(2 k - \frac{1}{4} ， 2 k + \frac{1}{4}) ， k \in z$ B、 $(2 k + \frac{1}{2} ， 2 k + \frac{5}{2}) ， k \in z$ C、 $(4 k - \frac{1}{4} ， 4 k + \frac{1}{4}) ， k \in z$ D、 $(4 k + \frac{1}{4} ， 4 k + \frac{15}{4}) ， k \in z$

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二、填空题

13. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{a}{x})}^{6} (a > 0)$ 的展开式中常数项的系数是60，则a的值为．

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14. 已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若 $\vec{A B} \cdot \vec{C B} = | \vec{A C} |$ ，则实数m的值为．

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15. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC₁ ， AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成角的余弦值等于．

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16. 已知约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 3 \geq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \\ x \leq a \end{matrix}$ ，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x₀ ， y₀）∈D，点（m，n）∈D若3x₀﹣y₀与 $\frac{n + 1}{m}$ 的最小值相等，则实数a等于．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}满足a_n₊₁=a_n﹣2a_n₊₁a_n ， a_n≠0且a₁=1

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求出{a_n}的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} n a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列{b_n}的前2n项的和T_2n ．

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18. 如图，在△ABC中， $A B = 2 A C ， \cos B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，点D在线段BC上．

(1)、当BD=AD时，求 $\frac{A D}{A C}$ 的值；

(2)、若AD是∠A的平分线， $B C = \sqrt{5}$ ，求△ADC的面积．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC= $\frac{1}{2}$ AD=2，CD=4

(1)、求证：直线PA∥平面QMB；

(2)、若二面角P﹣AD﹣C为60°，求直线PB与平面QMB所成角的余弦值．

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20. 从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．

(1)、求这100份数学试卷的样本平均分 $\bar{x}$ 和样本方差s²
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)、由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，σ²近似为样本方差s² ．
①利用该正态分布，求P（81＜z＜119）；
②记X表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．
附： $\sqrt{369}$ ≈19， $\sqrt{326}$ ≈18，若Z=～N（μ，²），则P（μ﹣σ²），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

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21. 已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）

(1)、求f（x）的单调区间；并证明lnx+ $\frac{e}{x}$ ≥2（e为自然对数的底数）恒成立；

(2)、若函数f（x）的一个零点为x₁（x₁＞1），f'（x）的一个零点为x₀ ，是否存在实数k，使 $\frac{x_{1}}{x_{0}}$ =k，若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t \cos α \\ y = 2 + t \sin α \end{matrix} (t$ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ

(1)、求圆C的直角坐标方程；

(2)、若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的最小值．

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23. 设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，

(1)、证明：| $\frac{1}{3}$ a+ $\frac{1}{6}$ b|＜ $\frac{1}{4}$ ；

(2)、比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．

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