2017年上海市宝山区高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-03-08 类型：高考模拟

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一、填空题

1. $\lim_{n \to \infty}$ $\frac{2 n + 3}{n + 1}$ = ．

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2. 设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩∁_UB= ．

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3. 不等式 $\frac{x + 1}{x + 2} < 0$ 的解集为．

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4. 椭圆 ${\begin{matrix} x = 5 \cos θ \\ y = 4 \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数）的焦距为．

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5. 设复数z满足 $z + 2 \bar{z} = 3 - i$ （i为虚数单位），则z= ．

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6. 若函数 $y = | \begin{matrix} \cos x & \sin x \\ \sin x & \cos x \end{matrix} |$ 的最小正周期为aπ，则实数a的值为．

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7. 若点（8，4）在函数f（x）=1+log_ax图像上，则f（x）的反函数为．

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8. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的方向上的投影为．

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9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．

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10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）

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11. 设常数a＞0，若 ${(x + \frac{a}{x})}^{9}$ 的二项展开式中x⁵的系数为144，则a= ．

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12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．

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二、选择题

13. 设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）

A、80 B、96 C、108 D、110

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15. 设M，N为两个随机事件，给出以下命题：
（1.）若M、N为互斥事件，且 $P (M) = \frac{1}{5}$ ， $P (N) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (M \cup N) = \frac{9}{20}$ ；
（2.）若 $P (M) = \frac{1}{2}$ ， $P (N) = \frac{1}{3}$ ， $P (M N) = \frac{1}{6}$ ，则M、N为相互独立事件；
（3.）若 $P (\bar{M}) = \frac{1}{2}$ ， $P (N) = \frac{1}{3}$ ， $P (M N) = \frac{1}{6}$ ，则M、N为相互独立事件；
（4.）若 $P (M) = \frac{1}{2}$ ， $P (\bar{N}) = \frac{1}{3}$ ， $P (M N) = \frac{1}{6}$ ，则M、N为相互独立事件；
（5.）若 $P (M) = \frac{1}{2}$ ， $P (N) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{M N}) = \frac{5}{6}$ ，则M、N为相互独立事件；
其中正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16. 在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f（t）|的最大值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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三、解答题

17. 如图，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，侧面积为36；

(1)、求正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的体积；

(2)、求异面直线A₁C与AB所成的角的大小．

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18. 已知椭圆C的长轴长为 $2 \sqrt{6}$ ，左焦点的坐标为（﹣2，0）；

(1)、求C的标准方程；

(2)、设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且 $| A B | = \sqrt{6}$ ，试求直线l的倾斜角．

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19. 设数列{x_n}的前n项和为S_n ，且4x_n﹣S_n﹣3=0（n∈N^*）；

(1)、求数列{x_n}的通项公式；

(2)、若数列{y_n}满足y_n₊₁﹣y_n=x_n（n∈N^*），且y₁=2，求满足不等式 $y_{n} > \frac{55}{9}$ 的最小正整数n的值．

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20. 设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；

(1)、当m=2时，解不等式 $f (\frac{1}{x}) > 1$ ；

(2)、若f（0）=1，且 $f (x) = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{x} + λ$ 在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；

(3)、如果函数f（x）的图像过点（98，2），且不等式f[cos（2ⁿx）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．

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21. 设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；

(1)、已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；

(2)、设a₁= $\frac{2}{3}$ ，当n∈N^* ，且n≥2时，曲线 $\frac{x^{2}}{n^{2} - n + 1} + \frac{y^{2}}{1 - n} = \frac{1}{9}$ 的焦距为a_n ，如果A={a₁ ， a₂ ， …，a_n}，B= ${- \frac{1}{9} ， - \frac{2}{9} ， - \frac{2}{3}}$ ，设A+B中的所有元素之和为S_n ，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S_m+S_n﹣λS_k＞0恒成立，求实数λ的最大值；

(3)、若整数集合A₁⊆A₁+A₁ ，则称A₁为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A₂的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A₂为“N^*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N^*的基底集？请说明理由．

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