2017年湖北省部分重点中学高考适应性数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-03-08 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z²=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2i C、- $\sqrt{2}$ D、2+2i

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2. 数列4，a，9是等比数列是“a=±6”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若¬（p∧q）为假命题，则（）

A、p为真命题，q为假命题 B、p为假命题，q为假命题 C、p为真命题，q为真命题 D、p为假命题，q为真命题

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4. 设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|cosπx=1}，则（∁_UA）∩B的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5.
执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）

A、 $4 \sqrt{3 \sqrt{2}}$ B、 $5 \sqrt{4 \sqrt{3 \sqrt{2}}}$ C、 $5 \sqrt{4}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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6. 设函数f（x）=4cos（ωx+φ）对任意的x∈R，都有 $f (- x) = f (\frac{π}{3} + x)$ ，若函数g（x）=sin（ωx+φ）﹣2，则 $g (\frac{π}{6})$ 的值是（）

A、1 B、﹣5或3 C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣2

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7. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 \\ y - 1 \geq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=xy的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8.
如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，BC的中点，过点D₁、E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V₁、V₂（V₁＜V₂），则V₁：V₂=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{25}{47}$ D、 $\frac{7}{9}$

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9. 已知O为坐标原点，双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b} = 1 (b > 0)$ 上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{17}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{28 π}{3}$ C、16π D、21π

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11. G为△ADE的重心，点P为△DEG内部（含边界）上任一点，B，C均为AD，AE上的三等分点（靠近点A）， $\vec{A P}$ =α $\vec{A B}$ +β $\vec{A C}$ （α，β∈R），则α+ $\frac{1}{2}$ β的范围是（）

A、[1，2] B、[1， $\frac{3}{2}$ ] C、[ $\frac{3}{2}$ ，2] D、[ $\frac{3}{2}$ ，3]

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} \ln x ， x \geq 1 \\ 1 - \frac{x}{2} < 1 \end{matrix}$ ，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂的取值范围是（）

A、[4﹣2ln2，+∞） B、[1+ $\sqrt{e}$ ，+∞） C、[4﹣2ln2，1+ $\sqrt{e}$ ） D、[﹣∞，1+ $\sqrt{e}$ ）

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二、填空题

13. 已知（x+a）²（x﹣1）³的展开式中，x⁴的系数为1，则a= ．

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14. $T_{n} = (1 - \frac{1}{1 + 2}) (1 - \frac{1}{1 + 2 + 3}) \cdot \dots \cdot (1 - \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + n})$ = ．

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15. 已知 $f (x) = 1 + \ln (\sqrt{x^{2} - 2 x + 2} - x + 1)$ ，则f（﹣12）+f（14）= ．

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16. 已知a∈R，若f（x）=（x+ $\frac{a}{x}$ ﹣1）e^x在区间（1，3）上有极值点，则a的取值范围是．

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三、解答题

17. 在△ABC中，AD是角A的平分线．

(1)、用正弦定理或余弦定理证明： $\frac{B D}{D C} = \frac{B A}{A C}$ ；

(2)、已知AB=2．BC=4， $\cos B = \frac{1}{4}$ ，求AD的长．

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18.
某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ²），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．

(1)、计算这10名学生的成绩的均值和方差；

(2)、给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．
由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．

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19. 等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．

(1)、证明：点H为EB的中点；

(2)、若 $A B = A C = 2 \sqrt{2} ， A B ⊥ A C$ ，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．

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20. 已知直线 $l ： x = \frac{a^{2}}{c}$ 是椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0 ， c = \sqrt{a^{2} - b^{2}})$ 的右准线，若椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线方程为x=2．

(1)、求椭圆Γ的方程；

(2)、已知一直线AB过右焦点F（c，0），交椭圆Γ于A，B两点，P为椭圆Γ的左顶点，PA，PB与右准线交于点M（x_M ， y_M），N（x_N ， y_N），问y_M•y_N是否为定值，若是，求出该定值，否则说明理由．

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21. 根据题意解答

(1)、已知a为常数，且0＜a＜1，函数f（x）=（1+x）^a﹣ax，求函数f（x）在x＞﹣1上的最大值；

(2)、若a，b均为正实数，求证：a^b+b^a＞1．

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22. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \cos α \\ y = \sin α \end{matrix}$ ，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C₂的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．

(1)、求C₁的极坐标方程与C₂的直角坐标方程；

(2)、若P是C₁上任意一点，过点P的直线l交C₂于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．

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23. 已知函数f（x）=|x+a|+|x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．

(1)、解不等式|g（x）|＜3；

(2)、若对任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

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