石家庄四县七校2017-2018学年高二下学期文数期末教学质量检测卷

试卷更新日期：2018-10-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 2 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- i$ B、 $\frac{4}{5} - i$ C、 $i$ D、 $\frac{4}{5} - \frac{1}{5} i$

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2. 如图是一个 $2 \times 2$ 列联表，则表中 $m$ ， $n$ 的值分别为（）

$y_{1}$
$y_{2}$
总计
$x_{1}$
$a$
35
45
$x_{2}$
7
$b$
$n$
总计
$m$
73
$s$

A、10，38 B、17，45 C、10，45 D、17，38

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3. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，依次计算 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ 后，猜想 $a_{n}$ 的表达式是（）

A、 $2^{n - 1} + 1$ B、 $n + 1$ C、 $2^{n} - 1$ D、 $n^{2} - 2 n + 3$

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4. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $a$ 值为-1，则输出的 $k$ 值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $| a | > | b |$ D、 $e^{a} > e^{b}$

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6. 某产品的广告费支出 $x$ 与销售额 $y$ （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 5.1 x + 2.4$ ，则表中的 $m$ 的值为（）
$x$
2
4
6
8
10
$y$
15
21
$m$
45
54

A、28 B、30 C、31 D、38

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7. 暑假期间，生物、数学、物理、化学四项大赛在北京、重庆、石家庄、天津举行.我校学生张丽、马灵、赵明、陆俊参赛，每人只报不同的一项.已知张丽在北京比赛，生物在重庆举行，马灵在石家庄比赛，陆俊参加数学比赛，张丽没有参加化学比赛，则下列判断正确的是（）

A、张丽在北京参加数学比赛 B、赵明在重庆参加生物比赛 C、马灵在石家庄参加物理比赛 D、陆俊在天津参加化学比赛

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8. 某同学用收集到的6组数据对 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6)$ 制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线 $l_{1}$ 的方程： $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ，相关指数为 $R_{1}^{2}$ ；经过残差分析确定点 $E$ 为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线 $l_{2}$ 的方程： $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ ，相关指数为 $R_{2}^{2}$ .则以下结论中，不正确的是（）

A、 $r_{1} > 0$ ， $r_{2} > 0$ B、 ${\hat{b}}_{1} > 0$ ， ${\hat{b}}_{2} > 0$ C、 ${\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{2}$ D、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$

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9. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、不存在

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10. 如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项是 $2^{0}$ ，第二行共有二项是 $2^{1}$ ， $2^{2}$ ，第三行共有三项是 $2^{3}$ ， $2^{4}$ ， $2^{5}$ ，依此类推第 $n$ 行共有 $n$ 项，若该数阵的第15行中的第5个数是 $2^{m}$ ，则 $m =$ （）

A、105 B、109 C、110 D、215

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11. 设 $a ， b ， c \in (0 ， 1)$ ，则 $a + \frac{1}{b}$ ， $b + \frac{1}{c}$ ， $c + \frac{1}{a}$ （）

A、都不大于2 B、都不小于2 C、至少有一个不大于2 D、至少有一个大于2

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12. $i$ 为虚数单位，则 $i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + \cdot \cdot \cdot + 2018 i^{2018} =$ （）

A、 $- 2018 + 2017 i$ B、 $1008 - 1008 i$ C、 $- 1010 + 1009 i$ D、 $1010 - 1009 i$

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二、填空题

13. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = - 2 i$ ，则 $| z | =$ ．

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14. 设 $A = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ ， $B = \sqrt{6} - \sqrt{3}$ ，则 $A$ $B$ （填入“ $>$ ”或“ $<$ ”）．

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15. 已知 $i$ 为虚数单位， $2 i - 3$ 是关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ （ $p$ ， $q$ 为实数）的一个根，则 $p + q =$ ．

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16. 执行如图所示的程序框图，若 $a = \frac{1}{ln 2}$ ， $b = \frac{2}{e^{2}}$ ， $c = \frac{ln 2}{2}$ （其中 $e$ 是自然对数的底），则输出的结果是．

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三、解答题

17. 已知复数 $z$ 在复平面上对应的点在第二象限，且满足 $z^{2} = \bar{z}$ .
（Ⅰ）求复数 $z$ ；
（Ⅱ）设 $z$ ， $z^{2}$ ， $z^{3}$ 在复平面上对应点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表，已知在这50人中随机抽取1人，认为作业量大的概率为 $\frac{1}{2}$ .
认为作业量大
认为作业量不大
合计
男生
18

女生

17

合计

50
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有 $99 %$ 的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？
附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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19. 对任意函数 $f (x)$ ， $x \in D$ ，可按如图所示的程序框图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列 ${x_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ .
（Ⅰ）若定义函数 $f (x) = \frac{1 + 2 x}{1 - x}$ ，且输入 $x_{0} = - 1$ ，请写出数列 ${x_{n}}$ 的所有项；
（Ⅱ）若定义函数 $f (x) = 2 x - 1$ ，且输入 $x_{0} = 2$ ，求数列 ${x_{n}}$ 的通项公式 $x_{n}$ .

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20. 某商品要了解年广告费 $x$ （单位：万元）对年利润 $y$ （单位：万元）的影响，对近4年的年广告费 $x_{i}$ 和年利润 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 4)$ 数据作了初步整理，得到下面的表格：
广告费 $x$
2
3
4
5
年利润 $y$
26
39
49
54
（Ⅰ）用广告费作解释变量，年利润作预报变量，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果预报广告费用为6万元时的年利润.
附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $y = b x + a$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ .
（Ⅰ）证明： ${a_{n} + 1}$ 是等比数列；
（Ⅱ）证明：数列 ${a_{n}}$ 中的任意三项不为等差数列；
（Ⅲ）证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < \frac{5}{2}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），在以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2}$ 的方程为 $ρ = \frac{2}{\sqrt{1 + 3 {sin}^{2} θ}}$ .
（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若 $A$ ， $B$ 分别为曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 上的任意点，求 $| A B |$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - | x - 1 |$ .
（Ⅰ）作出函数 $y = f (x)$ 的图象；
（Ⅱ）不等式 $| 2 x - 1 | - | x - 1 | \leq 4$ 的解集为 $[m ， t]$ ，若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = t$ ，求 $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 2}$ 的最小值.

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	$y_{1}$	$y_{2}$	总计
$x_{1}$	$a$	35	45
$x_{2}$	7	$b$	$n$
总计	$m$	73	$s$

	认为作业量大	认为作业量不大	合计
男生	18
女生		17
合计			50

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

$x$	2	4	6	8	10
$y$	15	21	$m$	45	54

广告费 $x$	2	3	4	5
年利润 $y$	26	39	49	54