湖南省十大名校2017-2018学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-10-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{3 - x}} ， B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 $(- \infty ， 3] \cup^{} {4}$

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2. 设复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $\frac{3}{2} + 2 i$ C、 $2 - i$ D、 $1 - i$

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3. 将甲乙丙丁四人分成两组，每组两人，则甲乙两人在同一组的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 过点 $P (2 ， - 1)$ 且与 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有相同渐近线的双曲线方程是（）

A、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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5. 已知 $cos (π + α) = \frac{2}{3}$ ，则 $tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 夹角为60°，且 $| \overset{⇀}{a} | = 1 ， | \overset{⇀}{b} | = 2$ ，则 $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、 $8 - 4 \sqrt{3}$

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7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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8. 函数 $f (x) = x ln | x |$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1 ， A C_{1}$ 与 $B B_{1}$ 所成的角为30°，则 $A A_{1} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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10. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 $S$ 的值为（）

A、4 B、-4 C、8 D、-8

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11. 直线 $a x + y + 1 = 0$ 与 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于 $A ， B$ 两点， $∠ A O B = 120^{0}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\pm 1$ B、 $\pm 2$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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12. 关于 $x$ 的方程 $cos \frac{π x}{2} - lg | x | = 0$ 的实数根个数为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} + 1 ， x \leq 1 \\ {log}_{2} (x - 1) ， x > 1 \end{matrix}$ ，则 $f (f (2)) =$ ．

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14. 设椭圆的两个焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 $P$ .若 $Δ F_{1} F_{2} P$ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．

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15. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y + 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最大值为．

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16. 在 $Δ A B C$ 中，若 $A = 30^{0} ， cos B = \frac{3}{5} ， B C = 5$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零， $a_{1} = 8$ ，且 $a_{1} ， a_{5} ， a_{7}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{2 n} a_{2 n + 2}}}$ 的前 $n$ 项和.

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18. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， 2 sin B = 3 sin C ， a = b$ .

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $a = 3$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = A D = 1 ， A D / / B C ， ∠ B C D = 45^{0}$ ，将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ .

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求三棱锥 $B - A D C$ 的高.

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20. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物.为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量.现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度

x

和产卵数

y

的观测数据于表I中.根据绘制的散点图决定从回归模型①

y = C_{1} e^{C_{2} x}

与回归模型②

y = C_{3} x^{2} + C_{4}

中选择一个来进行拟合.

表I

温度 $x /^{0} C$	20	22	25	27	29	31	35
产卵数 $y /$ 个	7	11	21	24	65	114	325

参考数据： $e^{- 3.41} \approx 0.03 ， e^{0.26} \approx 1.30 ， e^{1.79} \approx 5.46 ， e^{5.20} \approx 181.88$

附：回归方程 $y = β x + α$ 中 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{α} = \bar{y} - \hat{β} \bar{x}$ 相关指数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$

(1)、请借助表II中的数据，求出回归模型①的方程：

表II（注：表中 $t_{i} = ln y_{i}$ ）

$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} t_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (t_{i} - \bar{t})$	$\sum_{i = 1}^{7} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t})$
189	567	25.27	162	78106	11.06	3040	41.86	825.09

(2)、类似的，可以得到回归模型②的方程为

y = 0.36 x^{2} - 202.54

.试求两种模型下温度为

20^{0} C

时的残差；

(3)、若求得回归模型①的相关指数

R^{2} = 0.95

，回归模型②的相关指数

R^{2} = 0.81

，请结合②说明哪个模型的拟合效果更好.

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，曲线 $y = \frac{2}{x}$ 与抛物线 $C$ 交于点 $P ， P F ⊥ x$ 轴.

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、抛物线的准线交 $x$ 轴交于点 $Q$ ，过点 $Q$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，求 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + 2 x - ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数存在单调增区间，求实数 $a$ 的取值范围.

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