河北省鸡泽、曲周、邱县、馆陶四县2017-2018学年高二下学期文数期末联考试卷

试卷更新日期：2018-10-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {x \in N | x \leq 6} ， A = {1 ， 3 ， 5} ， B = {4 ， 5 ， 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap^{} B =$ （）

A、 ${4 ， 6}$ B、 ${5}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${0 ， 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z - i = i z + 3$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + 2 i$ D、 $2 - 2 i$

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3. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{x} + 2$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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5. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = \frac{1}{2} x + y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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6. 已知 $s i n θ = \frac{3}{5} ， θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $tan (θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 7$ B、 $7$ C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{2})$ ，下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{4}$ 对称

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8. 某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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9. 如图中的程序框图表示求三个实数 $a ， b ， c$ 中最大数的算法，那么在空白的判断框中，应该填入（）

A、 $a > x$ B、 $b > x$ C、 $c < x$ D、 $c > x$

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10. 边长为 $2$ 的两个等边 $Δ A B D ， Δ C B D$ 所在的平面互相垂直，则四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\sqrt{6} π$ B、 $6 π$ C、 $\frac{20 π}{3}$ D、 $16 π$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点到双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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12. 已知方程 $ln | x | - a x^{2} + \frac{3}{2} = 0$ 有4个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{e^{2}}{2})$ B、 $(0 ， \frac{e^{2}}{2}]$ C、 $(0 ， \frac{e^{2}}{3})$ D、 $(0 ， \frac{e^{2}}{3}]$

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二、填空题

13. 某单位有420名职工，现采用系统抽样方法抽取21人做问卷调查，将420人按1，2，…，420随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间 $[281 ， 420]$ 的人数为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 3 ， A C = 4 ， M$ 是边 $B C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ .

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15. 若点 $A (a ， b) (a > 0 ， b > 0)$ 在直线 $2 x + y - 1 = 0$ 上，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是.

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， A = 2 C ， c = 2 ， a^{2} = 4 b - 4$ ，则 $a =$ .

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{2} + a_{1} = 0 ， a_{3} = 12$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在正整数 $n$ ，使得 $S_{n} > 2016$ ？若存在，求出符合条件的 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由.

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18. 某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况，随机抽取了60名学生进行统计．得到如下样本频数分布表：
月消费金额（单位：元）
$[0 ， 100)$
$[100 ， 200)$
$[200 ， 300)$
$[300 ， 400)$
$[40 ， 500)$
$\geq 500$
人数
30
6
9
10
3
2
记月消费金额不低于300元为“高消费”，已知在样本中随机抽取1人，抽到是男生“高消费”的概率为 $\frac{1}{6}$ .
下面的临界值表仅供参考：
$P (K^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ，其中）

(1)、从月消费金额不低于400元的学生中随机抽取2人，求至少有1人月消费金额不低于500元的概率；

(2)、请将下面的 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有 $90 %$ 的把握认为“高消费”与“男女性别”有关，说明理由.

高消费
非高消费
合计
男生

女生

25

合计

60

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B / / C D ， P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B A D = ∠ A D C = 90^{\circ}$ ，
$D C = 2 A B = 2 a ， D A = \sqrt{3} a ， E$ 为 $B C$ 中点．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P D E$ ；

(2)、线段 $P C$ 上是否存在一点 $F$ ，使 $P A / /$ 平面 $B D F$ ?若存在，找出具体位置，并进行证明：若不存在，请分析说明理由．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆 $C$ 与 $y$ 轴交于 $A ， B$ 两点，且 $| A B | = 2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点，且直线 $P A ， P B$ 与直线 $x = 4$ 分别交于 $M ， N$ 两点．是否存在点 $P$ 使得以 $M N$ 为直径的圆经过点 $D (2 ， 0)$ ？若存在，求出点 $P$ 的横坐标；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{e^{x}}$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点和极值；

(3)、若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [a ， + \infty)$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \geq - \frac{1}{e^{2}}$ 成立，求实数 $a$ 的最小值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数），若以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 cos θ$ ，设 $M$ 是圆 $C$ 上任一点，连结 $O M$ 并延长到 $Q$ ，使 $| O M | = | M Q |$ .

(1)、求点 $Q$ 轨迹的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与点 $Q$ 轨迹相交于 $A ， B$ 两点，点 $P$ 的直角坐标为 $(0 ， 2)$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = a | x - 2 | + x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 有最大值，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 1$ ，求不等式 $f (x) > | 2 x - 3 |$ 的解集.

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月消费金额（单位：元）	$[0 ， 100)$	$[100 ， 200)$	$[200 ， 300)$	$[300 ， 400)$	$[40 ， 500)$	$\geq 500$
人数	30	6	9	10	3	2

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	高消费	非高消费	合计
男生
女生		25
合计			60