备考2019年高考数学一轮专题：第6讲函数的奇偶性与周期性

试卷更新日期：2018-09-27 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(8)＋f(5)的值为（）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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2. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - {(\frac{1}{3})}^{x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在R上是增函数 B、是偶函数，且在R上是增函数 C、是奇函数，且在R上是减函数 D、是偶函数，且在R上是减函数

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3. 已知函数 $f (x)$ 的图像关于原点对称，且周期为 $4$ ，若 $f (- 1) = 2$ ，则 $f (2017) =$ （）

A、 $2$ B、 $0$ C、 $- 2$ D、 $- 4$

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4. 已知f(x)＝3ax²＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、－1 C、1 D、7

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5. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x} - 2 ， x < 0 \\ g (x) ， x > 0 \end{matrix}$ 为奇函数，则 $f (g (2)) =$ （）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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6. 已知 $f (x)$ 是定义为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ 。若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (50) =$ （）

A、-50 B、0 C、2 D、50

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7. 设 $m \in R$ ，则“ $m = 1$ ”是“ $f (x) = m \cdot 2^{x} + 2^{- x}$ ”为偶函数的（）

A、充分而不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 既是偶函数又是周期函数，若 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ ，且当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) = sin x$ ，则 $f (\frac{5 π}{3})$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 用列表法将函数 $f (x)$ 表示为，则（）

A、 $f (x + 2)$ 为奇函数 B、 $f (x + 2)$ 为偶函数 C、 $f (x - 2)$ 为奇函数 D、 $f (x - 2)$ 为偶函数

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10. 已知函数f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则（）

A、 $a = \frac{1}{3}$ ，b=0 B、a=﹣1，b=0 C、a=1，b=1 D、a= $- \frac{1}{3}$ ，b=﹣1

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11. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且 $f (2 + x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时 $f (x) = x^{2}$ ，则 $f (2018.7) =$ （）

A、 $0.09$ B、 $- 0.09$ C、 $0.49$ D、 $- 0.49$

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12. 下列函数中，既是偶函数，又是周期函数的是（）

A、 $y = sin | x |$ B、 $y = cos (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = cos (x - π)$

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二、填空题

13. 已知函数f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，若f（a）≥f（2），则实数a的取值范围是．

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 4) = f (x)$ ，当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (- 21) + f (16) =$ ．

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15. 函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且恒有 $f (x + 2) = - f (x)$ ，则 $f (2018) =$ ．

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16. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为 $3$ 的周期函数，如图表示该函数在区间 $(- 2 ， 1]$ 上的图象，则 $f (2018) + f (2019) =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x + 2 (a \neq 0)$ 是偶函数，且 $f (1) = 0$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = f (x - 1)$ 在 $[0 ， 3]$ 上的值域.

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18. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2^x－1.

(1)、求f(3)＋f(－1)；

(2)、求f(x)的解析式.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3^{x} + 1} + a (x \in R)$ 为奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、当 $0 \leq x \leq 1$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) + 1 = t$ 有零点，求实数 $t$ 的取值范围．

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20. 函数f（x）满足f（x+2）=﹣ $\frac{1}{f (x)}$ ，求证：f（x）是周期函数，并求出它的一个周期．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1} (a > 1)$ .

(1)、根据定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数；

(2)、根据定义证明：函数 $f (x)$ 是奇函数.

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22. 已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时， $f (x) = \frac{2^{x}}{4^{x} + 1}$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

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备考2019年高考数学一轮专题：第6讲 函数的奇偶性与周期性

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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