辽宁省抚顺市六校2017-2018学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = (- 5 ， 5)$ ，集合 $A = {x | - 1 < x < 5} ， B = {x | - 2 < x < 4}$ ，则 $C_{U} (A \cup^{} B) =$ （）

A、 $(- 5 ， - 2]$ B、 $[4 ， 5)$ C、 $(- 5 ， - 2)$ D、 $(4 ， 5)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z |$ =（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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3. 函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (x - x^{2})$ 的单调增区间为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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4. 命题“ $\forall n \in N_{+}$ ， $f (n) \in N_{+}$ 且 $f (n) \leq n$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall n \in N_{+}$ ， $f (n) \notin N_{+}$ 且 $f (n) > n$ B、 $\forall n \in N_{+}$ ， $f (n) \notin N_{+}$ 或 $f (n) > n$ C、 $\exists n_{0} \in N_{+}$ ， $f (n) \notin N_{+}$ 且 $f (n) > n$ D、 $\exists n_{0} \in N_{+}$ ， $f (n) \notin N_{+}$ 或 $f (n) > n$

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5. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ 在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）

A、 $4$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 1$ 或4

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6. 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于 $60^{\circ}$ ”时，应假设（）

A、三个内角都不大于 $60^{\circ}$ B、三个内角都大于 $60^{\circ}$ C、三个内角至多有一个大于 $60^{\circ}$ D、三个内角至多有两个大于 $60^{\circ}$

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7. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：
年份（届）
2014
2015
2016
2017
学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数 $x$
51
49
55
57
被清华、北大等世界名校录取的学生人数 $y$
103
96
108
107
根据上表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（）

A、 $111$ B、 $117$ C、 $118$ D、 $123$

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8. 函数 $y = ln (2 - | x |)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知p：函数 $f (x) = | x - a |$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上是增函数，q：函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 是减函数，则p是q的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 若函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{3}} x - 3^{x}$ 的零点为 $x_{0}$ ，若 $0 < m < x_{0}$ ，则 $f (m)$ 的值满足（）

A、 $f (m) = 0$ B、 $f (m) > 0$ C、 $f (m) < 0$ D、 $f (m)$ 的符号不确定

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12. 已知函数 $f (x)$ 任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 6) + f (x) = 2 f (3) ， y = f (x - 1)$ 图象关于点（1，0）对称， $f (4) = 4$ ，则 $f (2018) =$ （）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- 8$ D、 $8$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{2 - x} + lg (x + 1)$ 的定义域为.

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14. 设 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 b ， 3 + b]$ 上的偶函数，且在 $[- 2 b ， 0]$ 上为增函数，则 $f (x - 1) \geq f (3)$ 的解集为.

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15. 甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} (a + 1) x - 1 ， x \geq 1 \\ \frac{1}{2} a x^{2} - a x - 1 ， x < 1 \end{matrix}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 $z$ 是复数， $z + 2 i$ 与 $\frac{z}{2 - i}$ 均为实数.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、复数 ${(z + a i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知命题p：关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + 3 = 0$ 有实根；命题q：关于 $x$ 的函数 $y = 2 x^{2} + a x + 4$ 在 $[2 ， + \infty)$ 是增函数，若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求a的取值范围.

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19. 已知 $f (x)$ 为定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，当 $x \in [- 1 ， 0]$ 时，函数解析式为 $f (x) = \frac{1}{4^{x}} - \frac{b}{2^{x}} (b \in R)$ .

(1)、求 $b$ 的值，并求出 $f (x)$ 在 $(0 ， 1]$ 上的解析式；

(2)、若对任意的 $x \in (0 ， 1]$ ，总有 $f (x) \geq a$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
API
[0，100]
(100，200]
(200，300]
＞300
空气质量
优良
轻污染
中度污染
重度污染
天数
17
45
18
20
记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为 $x$ .当 $0 \leq x \leq 100$ 时，企业没有造成经济损失；当 $100 < x \leq 300$ 对企业造成经济损失成直线模型（当 $x = 150$ 时造成的经济损失为 $S = 200$ ，当 $x = 250$ 时，造成的经济损失 $S = 500$ ）；当 $x > 300$ 时造成的经济损失为2000元；

(1)、试写出 $S (x)$ 的表达式；

(2)、若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有12天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?

非重度污染
重度污染
合计
供暖季

非供暖季

合计

100
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P(k²≥k₀)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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21. 函数 $f (x)$ 对任意的 $m ， n \in R ，$ 都有 $f (m + n) = f (m) + f (n) - 1$ ，并且 $x > 0$ 时，恒有 $f (x) > 1$ .

(1)、求证： $f (x)$ 在R上是增函数；

(2)、若 $f (3) = 4 ，$ 解不等式 $f (a^{2} + a - 5) < 2$ .

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22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ (其中 $t$ 为参数）.现以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 6 cos θ$ .

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x - 1 |$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求关于x的不等式 $f (x) > 5$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \leq | a - 2 |$ 有解，求a的取值范围．

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年份（届）	2014	2015	2016	2017
学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数 $x$	51	49	55	57
被清华、北大等世界名校录取的学生人数 $y$	103	96	108	107

API	[0，100]	(100，200]	(200，300]	＞300
空气质量	优良	轻污染	中度污染	重度污染
天数	17	45	18	20

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			100

P(k²≥k₀)	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828