湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 5 x - x^{2} 〉 0}$ ， $N = {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ ，则 $M \cap^{} N$ 等于（）

A、 ${3 ， 4}$ B、 ${5 ， 6}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{3 + 5 i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 $a ， b$ 分别为12，4，则输出的 $n$ 等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} ， a_{7}$ 是函数 $f (x) = x^{2} - 3 x - 18$ 的两个零点，则 ${a_{n}}$ 的前10项和等于（）

A、 $- 15$ B、15 C、30 D、 $- 30$

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5. 函数f(x)＝3sin(2x－ $\frac{π}{6}$ )在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上的值域为（）

A、[ $- \frac{3}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ] B、[ $- \frac{3}{2}$ ，3] C、[ $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ] D、[ $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，3]

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6. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = \sqrt{3} ， | \overset{⇀}{b} | = 2$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 在 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $24 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

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8. 设 $a = \int_{0}^{π} sin x d x$ ，则二项式 ${(a \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 展开式的常数项是（）

A、1120 B、140 C、-140 D、-1120

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9. 函数 $y = a^{x - 1} + 2 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像恒过定点 $A$ ，若定点 $A$ 在直线 $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ $(m > 0 ， n > 0)$ 上，则 $3 m + n$ 的最小值为（）

A、13 B、14 C、16 D、12

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10. 抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $M$ 、 $N$ 两点，点 $P$ 为 $x$ 轴正半轴上任意一点，则 $（ \overset{⇀}{O P} + \overset{⇀}{P M}) \cdot (\overset{⇀}{P O} - \overset{⇀}{P N}) =$ （）

A、 $- 20$ B、 $12$ C、 $- 12$ D、 $20$

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11. 已知圆 $C ： {(x-a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 1 ，$ $平面区域 Ω ： {\begin{matrix} x + y - 6 \leq 0 \\ x - y + 4 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，若圆心 $C \in Ω$ ，且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，则圆心 $C (a ， b)$ 与点 $（ 2 ， 8 ）$ 连线斜率的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{7}{3}] \cup^{} [\frac{7}{5} ， + \infty)$ B、 $（ - \infty ， - \frac{7}{3} ） \cup^{} （ \frac{7}{5} ， + \infty ）$ C、 $(- \frac{7}{3} ， \frac{7}{5})$ D、 $[- \frac{7}{3} ， \frac{7}{5}] ，$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 4 x ， x \leq 0 \\ x l n x ， x > 0 \end{matrix}$ ， $g (x) = k x - 1$ ，若方程 $f (x) - g (x) = 0$ 在 $x \in (- 2 ， e^{2})$ 时有3个实根，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(1 ， \frac{3}{2}] \cup^{} {2}$ C、 $(1 ， \frac{3}{2}) \cup^{} (\frac{3}{2} ， 2)$ D、 $(1 ， \frac{3}{2}) \cup^{} (\frac{3}{2} ， 2 + \frac{1}{e^{2}})$

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二、填空题

13. 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有种.

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14. 现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为 $1.49$ 元， $1.31$ 元， $2.19$ 元， $3.40$ 元， $0.61$ 元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是．

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15. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的两条渐近线分别与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p < 0)$ 的准线交于A ， B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则 $p$ 的值为.

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16. 已知△ABC中，角A ， $\frac{3}{2}$ B ， C成等差数列，且△ABC的面积为2＋ $2 \sqrt{2}$ ，则AC边长的最小值是.

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三、解答题

17. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 3$ ， $a_{3}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n + 1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧面 $P A D$ 是等腰直角三角形，且 $∠ A P D = 90^{0}$ ，侧面 $P A D$ ⊥底面 $A B C D$ .

(1)、若 $M 、 N$ 分别为棱 $B C 、 P D$ 的中点，求证： $M N$ ∥平面 $P A B$ ；

(2)、棱 $P C$ 上是否存在一点 $F$ ，使二面角 $F - A B - C$ 成 $30^{0}$ 角，若存在，求出 $P F$ 的长；若不存在，请说明理由.

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19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$ （单位：万元）对年销售量 $y$ （单位：吨）和年利润 $z$ （单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y {}_{i}{(i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6)}$ 的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年宣传费 $x$ （万元）
38
48
58
68
78
88
年销售量 $y$ （吨）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
经电脑拟，发现年宣传费 $x$ （万元）与年销售量 $y$ （吨）之间近似满足关系式 $y = a \cdot x^{b} (a ， b > 0) ，$ 即 $ln y = b ln x + ln a$ 。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
$\sum_{i = 1}^{6} (ln x_{i} \cdot l n y_{i})$
$\sum_{i = 1}^{6} (ln x_{i})$
$\sum_{i = 1}^{6} (ln y_{i})$
$\sum_{i = 1}^{6} {(ln x_{i})}^{2}$
75.3
24.6
18.3
101.4

(1)、根据所给数据，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、规定当产品的年销售量 $y$ （吨）与年宣传费 $x$ （万元）的比值在区间 $(\frac{e}{8} ， \frac{e}{6})$ 内时认为该年效益良好。现从这6年中任选2年，记其中选到效益良好年的数量为 $ξ$ ，试求随机变量 $ξ$ 的分布列和期望。（其中 $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）
附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， \dots ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = β \cdot u + α$ 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $β = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} v_{i}) - n (\bar{u} \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {(\bar{u})}^{2}} ， α = \bar{v} - β \cdot \bar{u}$

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20. 如图，一张坐标纸上已作出圆 $E ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 8$ 及点 $P (1 ， 0)$ ，折叠此纸片，使 $P$ 与圆周上某点 $P^{'}$ 重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线 $E P^{'}$ 的交点为 $M$ ，令点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m$ 与轨迹 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且直线 $l$ 与以 $E P$ 为直径的圆相切，若 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} \in [\frac{4}{5} ， \frac{5}{6}]$ ，求 $△ A B O$ 的面积的取值范围．

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21. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = ln x - a x$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $P (1 ， - 3)$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 单调区间

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $x_{1} \cdot x_{2} > e^{2}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \\ y = m + t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $m \in R$ ），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{3}{3 - 2 {cos}^{2} θ} (0 \leq θ \leq π)$ ．

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P$ 是曲线 $C_{2}$ 上一点，若点 $P$ 到曲线 $C_{1}$ 的最小距离为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2$ ， $g (x) = | x - a | - | x - 1 |$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 4$ ，求不等式 $f (x) > g (x)$ 的解集；

(2)、若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，不等式 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年宣传费 $x$ （万元）	38	48	58	68	78	88
年销售量 $y$ （吨）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

$\sum_{i = 1}^{6} (ln x_{i} \cdot l n y_{i})$	$\sum_{i = 1}^{6} (ln x_{i})$	$\sum_{i = 1}^{6} (ln y_{i})$	$\sum_{i = 1}^{6} {(ln x_{i})}^{2}$
75.3	24.6	18.3	101.4