河北省张家口市2017-2018学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} > x ， x \in R}$ ， $B = {x | \frac{1}{2} < x < 2 ， x \in R}$ ，则 $C_{R} (A \cap^{} B) =$ （）

A、 ${x | \frac{1}{2} \leq x \leq 1}$ B、 ${x | \frac{1}{2} < x < 2}$ C、 ${x | x \leq 1$ 或 $x \geq 2}$ D、 ${x | x \leq \frac{1}{2}$ 或 $x \geq 1}$

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2. 已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $(x_{0} + 2) e^{x_{0}} < 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \leq 0$ ，总有 $(x + 2) e^{x} \geq 1$ B、 $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $(x_{0} + 2) e^{x_{0}} \leq 1$ C、 $\forall x > 0$ ，总有 $(x + 2) e^{x} \geq 1$ D、 $\exists x_{0} \leq 0$ ，使得 $(x_{0} + 2) e^{x_{0}} \leq 1$

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3. 同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（）

A、48 B、56 C、60 D、120

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4. 从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球，每次取一个球，在第一次取出的球是白球的条件下，第二次取出的球是红球的概率为（）

A、 $\frac{7}{15}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5. 若曲线 $y = 2 e^{x} + 3 a x + b$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线 $l$ 与直线 $x + 2 y - 5 = 0$ 垂直，则 $a + b =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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6. 已知命题 $p$ ： $2^{| x - 1 |} \geq 4$ ，命题 $q$ ： $x > a$ ，且 $\neg q$ 是 $\neg p$ 的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1]$

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7. $\int_{- 2}^{2} (sin x + \sqrt{4 - x^{2}}) d x =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π + 2 cos 2$ C、 $2 π + 2 cos 2$ D、 $2 π$

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8. 下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）

A、平面内的三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ ，则 $a / / b$ .类比推出：空间中的三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ ，则 $a / / b$ B、平面内的三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a / / c ， b / / c$ ，则 $a / / b$ .类比推出：空间中的三条向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{c}$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c}$ ，则 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{c}$ C、在平面内，若两个正三角形的边长的比为 $\frac{1}{2}$ ，则它们的面积比为 $\frac{1}{4}$ .类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 $\frac{1}{2}$ ，则它们的体积比为 $\frac{1}{4}$ D、若 $a ， b ， c ， d \in R$ ，则复数 $a + b i = c + d i \Rightarrow a = c ， b = d$ .类比推理：“若 $a ， b ， c ， d \in Q$ ，则 $a + b \sqrt{2} = c + d \sqrt{2} \Rightarrow a = c ， b = d$ ”

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9. 设 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，若 $| a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{n} | = 127$ ，则展开式中二项式系数最大的项为（）

A、第4项 B、第5项 C、第4项和第5项 D、第7项

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10. 已知 $a ， b ， c \in (0 ， 2)$ ，则 $(2 - a) b ， (2 - b) c ， (2 - c) a$ 中（）

A、至少有一个不小于1 B、至少有一个不大于1 C、都不大于1 D、都不小于1

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11. $m \in N$ 且 $m > 1$ ， $m^{3}$ 可进行如下“分解”： $2^{3} = 3 + 5 ， 3^{3} = 7 + 9 + 11 ， 4^{3} = 13 + 15 + 17 + 19 ， \dots$
若 $m^{3}$ 的“分解”中有一个数是2019，则 $m =$ （）

A、44 B、45 C、46 D、47

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12. 已知 $A = {α | f (α) = 0} ， B = {β | f (β) = 0} ，$ 若存在 $α \in A ， β \in B$ ，使得 $| α - β | < 1$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“1度零点函数”，若 $f (x) =$ ${\begin{matrix} 1 - | x + \frac{3}{2} | ， - 2 < x \leq 0 \\ - \frac{3}{x^{2} - x + 1} + 1 ， x > 0 \end{matrix}$ 与 $g (x) = x^{2} - a ln x (a > 0)$ 互为“1度零点函数”，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 2 e)$ B、 $[2 e ， + \infty)$ C、 $[2 e ， \frac{9}{ln 3})$ D、 $(2 e ， \frac{9}{ln 3})$

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二、填空题

13. 已知随机变量 $ξ ~ N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq - 1) = 0.1$ ， $P (2 \leq ξ \leq 3) = 0.15$ ，则 $P (0 \leq ξ \leq 2) =$ .

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14. 对具有线性相关关系的变量 $x ， y$ ，有一组观测数据 $(x_{i} ， y_{i})$ （ $i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 10$ ），其回归直线方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \frac{3}{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{10} = 3 (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{10}) = 30$ ，则 $b =$ .

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15. 用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有个.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{a x + b}}{x}$ （ $a ， b \in R$ ），若对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 1$ 恒成立，记 $a b$ 的最小值为 $g (a ， b)$ ，则 $g (a ， b)$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知复数 $| z | = \sqrt{2}$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，且 ${(\bar{z})}^{2}$ 为纯虚数， $z$ 在复平面内所对应的点 $Z$ 在第二象限，求 ${(\frac{z}{\sqrt{2}})}^{2018}$

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18. 电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：

(1)、求图中 $x$ 的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；

(2)、若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望和方差.

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19. 某种子培育基地新研发了 $A ， B$ 两种型号的种子，从中选出90粒进行发芽试验，并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下 $2 \times 2$ 列联表：

(1)、将 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关；

(2)、若按照分层抽样的方式，从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本，并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子，设取出的 $A$ 型号的种子数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.
$P (K^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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20. 设函数 $f (x) = a x - \frac{a}{x} - ln x ， a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{2} \in (1 ， \sqrt{2})$ ，证明： $0 < f (x_{1}) - f (x_{2}) < - \frac{2}{3} + ln 2$ .

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s α \\ y = s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 4 t^{2} \\ y = 4 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $A ， B$ 两点，直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $C ， D$ 两点.

(1)、当 $θ \in [0 ， 2 π)$ 时，求 $A ， B$ 两点的极坐标；

(2)、设 $P (2 ， - 1)$ ，求 $\frac{1}{| P C |} + \frac{1}{| P D |}$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = | x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) + f (2 x - 2) > 2$ ；

(2)、若不等式 $f (x + a - 1) - f (x) \leq | x - 2 |$ 的解集包含 $[- 1 ， 2]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t + 2 \\ y = 3 t - 2 \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 $C$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程及曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、设点 $P$ 在直线 $l$ 上，点 $q$ 在曲线 $C$ 上，求 $| P Q |$ 的最小值及此时点 $Q$ 的直角坐标.

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24. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{1}{t} | - | x + t | (t > 0)$

(1)、设 $f (x)$ 的最大值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的最小值 $m$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $a ， b ， c \in R^{*}$ ，且 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} = m$ ，求 $a + b + c$ 的最大值.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828