河北省张家口市2017-2018学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $A = {2 ， 3 ， 5}$ ， $B = {1 ， 3 ， 4}$ ，则 $C_{U} (A \cup^{} B) =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 6}$ B、 ${4 ， 6}$ C、 ${6}$ D、 ${2 ， 4 ， 6}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}$ （ $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数）的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $(x_{0} + 2) e^{x_{0}} < 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \leq 0$ ，总有 $(x + 2) e^{x} \geq 1$ B、 $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $(x_{0} + 2) e^{x_{0}} \leq 1$ C、 $\forall x > 0$ ，总有 $(x + 2) e^{x} \geq 1$ D、 $\exists x_{0} \leq 0$ ，使得 $(x_{0} + 2) e^{x_{0}} \leq 1$

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4. 下面四个推导过程，符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）

A、大前提：分数是有理数；小前提： $\frac{1}{3}$ 是有理数；结论： $\frac{1}{3}$ 是分数 B、大前提：分数是有理数；小前提： $\frac{1}{3}$ 是分数；结论： $\frac{1}{3}$ 是有理数 C、大前提： $\frac{1}{3}$ 是分数；小前提：分数是有理数；结论： $\frac{1}{3}$ 是有理数 D、大前提： $\frac{1}{3}$ 是分数；小前提： $\frac{1}{3}$ 是有理数；结论：分数是有理数

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5. 执行如图所示的程序框图，如果输出结果为 $\frac{7}{4}$ ，在空白判断框中的条件是（）

A、 $i \leq 4$ B、 $i < 4$ C、 $i < 3$ D、 $i \leq 5$

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6. 若 $a = 2^{- 0.3}$ ， $b = {0.3}^{2}$ ， $c = {log}_{\frac{1}{3}} \frac{1}{5}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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7. 已知命题 $p$ ： $2^{| x - 1 |} \geq 4$ ，命题 $q$ ： $x > a$ ，且 $\neg q$ 是 $\neg p$ 的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1]$

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8. 将函数 $f (x) = e^{1 - x}$ 的图象向左平移1个单位得到曲线 $C_{1}$ ，而且曲线 $C_{1}$ 与函数 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $g (x)$ 的表达式为（）

A、 $y = e^{2 - x}$ B、 $y = e^{x - 2}$ C、 $y = e^{x}$ D、 $y = e^{- x}$

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9. 下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）

A、平面内的三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ ，则 $a / / b$ .类比推出：空间中的三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ ，则 $a / / b$ B、平面内的三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a / / c ， b / / c$ ，则 $a / / b$ .类比推出：空间中的三条向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{c}$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c}$ ，则 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{c}$ C、在平面内，若两个正三角形的边长的比为 $\frac{1}{2}$ ，则它们的面积比为 $\frac{1}{4}$ .类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 $\frac{1}{2}$ ，则它们的体积比为 $\frac{1}{4}$ D、若 $a ， b ， c ， d \in R$ ，则复数 $a + b i = c + d i \Rightarrow a = c ， b = d$ .类比推理：“若 $a ， b ， c ， d \in Q$ ，则 $a + b \sqrt{2} = c + d \sqrt{2} \Rightarrow a = c ， b = d$ ”

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10. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{3}{8} + x) = f (\frac{3}{8} - x)$ ，并且当 $0 \leq x \leq \frac{3}{8}$ 时， $f (x) = 16^{x} - 1$ ，则 $f (100) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- 2$

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11. $m \in N$ 且 $m > 1$ ， $m^{3}$ 可进行如下“分解”： $2^{3} = 3 + 5 ， 3^{3} = 7 + 9 + 11 ， 4^{3} = 13 + 15 + 17 + 19 ， \dots$
若 $m^{3}$ 的“分解”中有一个数是2019，则 $m =$ （）

A、44 B、45 C、46 D、47

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12. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{2 a x}{e^{x}} (x \geq - 1) \\ x^{2} - 3 a x + 3 a^{2} (x < - 1) \end{matrix}$ ，若函数 $y = f (x) - a^{2}$ 三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 e ， - 1)$ B、 $[- 3 e ， 0)$ C、 $[- 2 e ， 0)$ D、 $[- 2 e ， - 1)$

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二、填空题

13. 设 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{2} x ， (x > 0) \\ 2^{x} ， (x \leq 0) \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + b (a > 1)$ 的定义域和值域都为 $[1 ， a]$ ，则 $b =$ .

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15. 执行如图程序框图，输出的结果为.

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16. 函数 $f (x) = x ln x - a x + 1$ ，其中 $a \in R$ ，若对任意正数 $x$ 都有 $f (x) \geq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知复数 $| z | = \sqrt{2}$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，且 ${(\bar{z})}^{2}$ 为纯虚数， $z$ 在复平面内所对应的点 $Z$ 在第二象限，求 ${(\frac{z}{\sqrt{2}})}^{2018}$ .

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18. 已知 $a > b > 0$ ，求证：

(1)、 $a + b + 3 > \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ；

(2)、 $\sqrt{a + 1} - \sqrt{a + 2} > \sqrt{b + 1} - \sqrt{b + 2}$ .

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19. 函数 $f (x) = x^{3} - 4 x + 2$ 及其图象上一点 $M (1 ， - 1)$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 与函数 $f (x)$ 的图象相切于 $M (1 ， - 1)$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象的切线 $l_{2}$ 经过点 $M (1 ， - 1)$ ，但 $M$ 不是切点，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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20. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a x ， g (x) = a x^{2} + c$ （ $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、若 $f (x)$ 有最小值，求 $a$ 的取值范围，并求出 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若对任意实数 $x$ ，不等式 $f (x) + a x \geq 2 g (\frac{x}{2}) + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s α \\ y = s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 4 t^{2} \\ y = 4 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $A ， B$ 两点，直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 交于 $C ， D$ 两点.

(1)、当 $θ \in [0 ， 2 π)$ 时，求 $A ， B$ 两点的极坐标；

(2)、设 $P (2 ， - 1)$ ，求 $\frac{1}{| P C |} + \frac{1}{| P D |}$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = | x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) + f (2 x - 2) > 2$ ；

(2)、若不等式 $f (x + a - 1) - f (x) \leq | x - 2 |$ 的解集包含 $[- 1 ， 2]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t + 2 \\ y = 3 t - 2 \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 $C$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程及曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、设点 $P$ 在直线 $l$ 上，点 $q$ 在曲线 $C$ 上，求 $| P Q |$ 的最小值及此时点 $Q$ 的直角坐标.

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24. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{1}{t} | - | x + t | (t > 0)$

(1)、设 $f (x)$ 的最大值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的最小值 $m$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $a ， b ， c \in R^{*}$ ，且 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} = m$ ，求 $a + b + c$ 的最大值.

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