河北省邯郸市2017-2018学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $P = {x | - 1 < x < 1}$ ， $Q = {0 < x < 2}$ ，则 $P \cup Q =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(1 ， 2)$

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2. $(1 + i) (2 + i) =$ ( ）

A、 $1 - i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $3 + i$ D、 $3 + 3 i$

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3. 设 $f (x) = {\begin{matrix} 1 - \sqrt{x} ， x \geq 0 \\ 2^{x} ， x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 2))$ =（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. “ $ln x > ln y$ ”是“ $x > y$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $sin 2 α = \frac{2}{3}$ ，则 ${cos}^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b cos C + c cos B = a sin A$ ，则 $Δ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形

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7. 函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2 x (1 - x)$ ，则 $f (\frac{5}{2})$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8. 若函数 $f (x) = k x - ln x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 单调递增，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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9. 函数 $y = A sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 sin (x + \frac{π}{3})$

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10. 若函数 $y = cos (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω \in N^{*}$ ）图象的一个对称中心是 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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11. 函数 $y = \frac{x a^{x}}{| x |}$ $(0 < a < 1)$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | \leq \frac{π}{2}$ ）的图像与 $y$ 轴交于点 $(0 ， \sqrt{3})$ ，在 $y$ 轴右边到 $y$ 轴最近的最高坐标为 $(\frac{π}{12} ， 2)$ ，则不等式 $f (x) > 1$ 的解集是（）

A、 $(k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{5}{6} π)$ ， $k \in Z$ B、 $(k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5}{6} π)$ ， $k \in Z$ C、 $(k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{4})$ ， $k \in Z$ D、 $(k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{π}{4})$ ， $k \in Z$

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二、填空题

13. 已知命题 $p$ ： $\forall x > 0$ ，总有 $(x + 1) e^{x} > 1$ .则 $\neg p$ 为．

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14. 不等式 ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 3} < 2^{- 2 x}$ 的解集是．

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15. 曲线 $f (x) = - 5 e^{x} + 3$ 在点 $(0 ， - 2)$ 处的切线方程为．

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16. 若动直线 $x = a$ 与函数 $f (x) = sin x$ 和 $g (x) = cos x$ 的图象分别交于 $M$ ， $N$ 两点，则 $| M N |$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b cos C = (2 a - c) cos B$ ，

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ ， $a + c = 4$ ，求 $a$ ， $c$ 的值.

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18. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (cos x ， - \frac{1}{2})$ ， $\overset{⇀}{b} = (\sqrt{3} sin x ， cos 2 x)$ ， $x \in R$ ，设函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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19. 某贫困地区有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户，为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据(单位：万元)
(I)应收集多少户山区家庭的样本数据?
(Ⅱ)根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 $(0 ， 0.5]$ ， $(0.5 ， 1]$ ， $(1 ， 1.5]$ ， $(1.5 ， 2]$ ， $(2 ， 2.5]$ ， $(2.5 ， 3]$ .如果将频率率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；
(Ⅲ)样本数据中，由5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”?
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

超过2万元
不超过2万元
总计
平原地区

山区
5

总计

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20. 如图，某军舰艇位于岛的 $A$ 的正西方 $C$ 处，且与岛的 $A$ 相距12海里.经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿 $A$ 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从 $C$ 处出发沿北偏东 $90 ° - α$ 的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上.

(1)、求该军舰艇的速度.

(2)、求 $sin α$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ， $g (x) = \frac{m}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、对一切 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $2 f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、证明：对一切 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $ln x < \frac{2 x}{e} - \frac{x^{2}}{e^{x}}$ 成立.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 2$ ，其中 $a$ 为常数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $y = e x - 2$ 是 $f (x) = e^{x} - a x - 2$ 的一条切线，求 $a$ 的值；

(3)、已知 $a = 1$ ， $k$ 为整数，若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $(x - k) f' (x) + x + 1 > 0$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	超过2万元	不超过2万元	总计
平原地区
山区	5
总计