福建省福州市八县（市）协作校2017-2018学年高二上学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2018-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）

A、任意一个有理数，它的平方是有理数 B、任意一个无理数，它的平方不是有理数 C、存在一个有理数，它的平方是有理数 D、存在一个无理数，它的平方不是有理数

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2. 已知集合A＝ ${x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0}$ ，B＝ ${x | y = \sqrt{x - 3}}$ ，则A∩B等于（）

A、[1，3] B、[1，5] C、[3，5] D、[1，＋∞)

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3. 如图，边长为 $2$ 的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{4}{π}$ C、 $\frac{4 - π}{4}$ D、 $π$

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4. “ $m n < 0$ ”是“方程 $m x^{2} - n y^{2} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 抛物线 $y = - \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、（- $\frac{1}{2}$ ，0） B、（-4，0） C、（0，- $\frac{1}{4}$ ） D、（0，-2）

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6. 设向量 $\vec{a} = (2 ， 3) ， \vec{a} + \vec{b} = (x ， 5) ， \vec{c} = (- 1 ， - 1)$ ，若 $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、0 B、4 C、5 D、6

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7. 已知 $a = 4^{\frac{1}{3}} ， b = log {}_{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} ， c = {log}_{3} \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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8. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）

A、10π B、11π C、12π D、13π

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9. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱， $p_{i} (i = 1 ， 2 \dots \dots 8)$ 是上底面上其余的八个点，则 $\vec{A B} • \vec{A P_{i}} (i = 1 ， 2 \dots \dots 8)$ 的不同值的个数为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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10. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ， (a ⊳ 0 ， b ⊳ 0)$ 的左焦点为 $F$ ，圆M的圆心在Y轴正半轴，半径为 $2 a$ ，若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线M $F$ 与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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11. 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，点D₁和F₁分别是A₁B₁和A₁C₁的中点，若BC=CA=CC₁ ，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p$ ＞ $0$ ）的焦点为 $F$ ，已知点 $A$ ， $B$ 为抛物线上的两个动点，且满足 $∠ A F B = 120 °$ ．过弦 $A B$ 的中点 $M$ 作抛物线准线的垂线 $M N$ ，垂足为 $N$ ，则 $\frac{| M N |}{| A B |}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 若实数x ， y满足 ${\begin{matrix} \begin{matrix} 2 x + 3 y - 3 \leq 0 \\ 2 x - 3 y + 3 \geq 0 \end{matrix} \\ y + 3 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为．

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14. 已知命题 $q$ ： $\forall x \in R ， x^{2} + m x + 1 > 0.$ 是真命题，则实数 $m$ 的取值范围为

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15. 若 $Δ A B C$ 的两个顶点坐标 $A (- 4 ， 0)$ 、 $B (4 ， 0)$ ， $Δ A B C$ 的周长为 $18$ ，则顶点C轨迹方程为

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16. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，下列给出四个命题：
⑴四边形ABC₁D₁的面积为 $\overset{}{| \vec{A B} |} | \vec{B C_{1}} |$
⑵ $\overset{⇀}{A D_{1}} 与 \overset{⇀}{A_{1} B}$ 的夹角为60°；
⑶ ${(\overset{⇀}{A A_{1}} + \overset{⇀}{A_{1} D_{1}} + \overset{⇀}{A_{1} B_{1}})}^{2} = 3 {(\overset{⇀}{A_{1} B_{1}})}^{2} ；$
⑷ $\overset{⇀}{A_{1} C} \cdot (\overset{⇀}{A_{1} B_{1}} - \overset{⇀}{A_{1} D_{1}}) = 0$
则正确命题的序号是． (填出所有正确命题的序号)

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三、解答题

17. 设命题 $p ：$ 实数 $x$ 满足 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0$ ， $(a ⊳ 0)$ ；
命题 $q ：$ 实数 $x$ 满足 $(x - 3) (2 - x) \geq 0$

(1)、若 $a = 1$ ， $p \land q$ 为真命题，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c ，且 b = c ， 2 sin B = \sqrt{3} sin A ．$

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $a = 2 ，求 Δ A B C$ 的面积．

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19. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则
（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程。
（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，已知直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上，求m的值.

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20. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前三项和为6，且 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使 $S_{n} < \frac{14}{15}$ 的 $n$ 的最大值．

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21. 如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．

(1)、求证：AB₁⊥平面A₁BD；

(2)、求锐二面角A－A₁D－B的余弦值；

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22. 已知O为坐标原点，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，右顶点为A，上顶点为B，若|OB|，|OF₂|，|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F₂的最短距离为 $\sqrt{6} - 2$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设T为直线x=-3上任意一点，过F₁的直线交椭圆C于点P，Q，且 $\overset{⇀}{T F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P Q} = 0$ ，求 $\frac{\overset{⇀}{T F_{1}}}{\overset{⇀}{P Q}}$ 的最小值．

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