甘肃省兰州市2018年中考数学试卷

试卷更新日期：2018-09-27 类型：中考真卷

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一、选择题

1. $- 2018$ 的绝对值是（）

A、 $\frac{1}{2018}$ B、 $- 2018$ C、2018 D、 $- \frac{1}{2018}$

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2. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 据中国电子商务研究中心 $(100 EC . CN)$ 发布 $《 2017$ 年度中国共享经济发展报告 $》$ 显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得 $1159.56$ 亿元投资，数据 $1159.56$ 亿元用科学记数法可表示为（）

A、 $1159.56 \times 10^{8}$ 元 B、 $11.5956 \times 10^{10}$ 元 C、 $1.15956 \times 10^{11}$ 元 D、 $1.15956 \times 10^{8}$ 元

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4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{27}$ D、 $\sqrt{12}$

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5. 如图， $AB / / CD$ ， $AD = CD$ ， $∠ 1 = 65^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $50^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $65^{\circ}$ D、 $70^{\circ}$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a \cdot 3 b = 5 ab$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 ${(- 3 a^{2} b)}^{2} = 6 a^{4} b^{2}$ D、 $a^{4} \div a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}$

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7. 如图，边长为4的等边 $△ ABC$ 中，D，E分别为AB，AC的中点，则 $△ ADE$ 的面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 如图，矩形ABCD中， $AB = 3$ ， $BC = 4$ ， $EF / / DF$ 且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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9. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若 $∠ ABD = 48^{\circ}$ ， $∠ CFD = 40^{\circ}$ ，则 $∠ E$ 为（）

A、 $102^{\circ}$ B、 $112^{\circ}$ C、 $122^{\circ}$ D、 $92^{\circ}$

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10. 关于x的分式方程 $\frac{2 x + a}{x + 1} = 1$ 的解为负数，则a的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $a < 1$ C、 $a < 1$ 且 $a \neq - 2$ D、 $a > 1$ 且 $a \neq 2$

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11. 如图，已知二次函数 $y = {ax}^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列5个结论 $① abc > 0$ ； $② b - a > c$ ； $③ 4 a + 2 b + c > 0$ ； $④ 3 a > - c$ ； $⑤ a + b > m (am + b) (m \neq 1$ 的实数 $) .$ 其中正确结论的有（）

A、 $① ② ③$ B、 $② ③ ⑤$ C、 $② ③ ④$ D、 $③ ④ ⑤$

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12. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 7 x + \frac{45}{2}$ 与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作 $C_{1}$ ，将 $C_{1}$ 向左平移得到 $C_{2}$ ， $C_{2}$ 与x轴交于点B、D，若直线 $y = \frac{1}{2} x + m$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）

A、 $- \frac{45}{8} < m < - \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{29}{8} < m < - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{29}{8} < m < - \frac{5}{2}$ D、 $- \frac{45}{8} < m < - \frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 因式分解： $x^{2} y - y^{3} =$ ．

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14. 不等式组 ${\begin{matrix} 2 (x + 1) > 5 x - 7 \\ \frac{4}{3} x + 3 > 1 - \frac{2}{3} x \end{matrix}$ 的解集为

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15. 如图， $△ ABC$ 的外接圆O的半径为3， $∠ C = 55^{\circ}$ ，则劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长是 $. ($ 结果保留 $π)$

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16. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足 $AM = BN$ ，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．

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三、解答题

17. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + {(π - 3)}^{0} + | 1 - \sqrt{2} | + tan 45^{\circ}$

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18. 解方程： $3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ．

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19. 先化简，再求值： $(x - \frac{3 x - 4}{x - 1}) \div \frac{x - 2}{x - 1}$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．

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20. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中．
①利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离 $(PD$ 的长 $)$ 等于PC的长；
②利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．
$($ 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑 $)$

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21. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：

(1)、a= ， $b =$ ．

(2)、该调查统计数据的中位数是，众数是．

(3)、请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；

(4)、若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

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22. 在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 $(x ， y)$

(1)、画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；

(2)、求点 $M (x ， y)$ 在函数 $y = x + 1$ 的图象上的概率．

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23. 如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为 $30^{\circ}$ ， $60^{\circ}$ ，求CD的高度 $. ($ 结果保留根号 $)$

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24. 某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月 $($ 按30天计算 $)$ ，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天 $(1 \leq x \leq 30$ 且x为整数 $)$ 的销售量为y件．

(1)、直接写出y与x的函数关系式；

(2)、设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？

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25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = ax + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (1 ， 2)$ 和 $B (- 2 ， m)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、请直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围；

(3)、过点B作 $BE / / x$ 轴， $AD ⊥ BE$ 于点D，点C是直线BE上一点，若 $AC = 2 CD$ ，求点C的坐标．

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26. 如图，在 $△ ABC$ 中，过点C作 $CD / / AB$ ，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．

(1)、求证：四边形AFCD是平行四边形．

(2)、若 $GB = 3$ ， $BC = 6$ ， $BF = \frac{3}{2}$ ，求AB的长．

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27. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，D为BA延长线上一点， $∠ ACD = ∠ B$ ．

(1)、求证：DC为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、线段DF分别交AC，BC于点E，F且 $∠ CEF = 45^{\circ}$ ， $⊙ O$ 的半径为5， $sinB = \frac{3}{5}$ ，求CF的长．

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28. 如图，抛物线 $y = {ax}^{2} + bx - 4$ 经过 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (5 ， - 4)$ 两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求证：AB平分 $∠ CAO$ ；

(3)、抛物线的对称轴上是否存在点M，使得 $△ ABM$ 是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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借阅图书的次数	0次	1次	2次	3次	4次及以上
人数	7	13	a	10	3