辽宁省凌源二中2017-2018学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 1}$ B、 ${x | 0 \leq x < 1}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ D、 ${x | - 2 < x \leq 1}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (sin α ， cos α)$ ，且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $tan α =$ （）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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3. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 32$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{32}{5}$ B、 $2$ C、 $\frac{64}{5}$ D、 $\frac{5}{32}$

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4. 已知 $x = {log}_{2} \sqrt{3} ， y = {log}_{0.5} π ， z = {0.9}^{- 1.1}$ ，则（）

A、 $x < y < z$ B、 $z < y < x$ C、 $y < z < x$ D、 $y < x < z$

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5. 已知 $p ： | x - 1 | \leq 1$ ， $q ： x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ ，则 $p$ 是 $\neg q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 将函数 $f (x) = 2 \sin 2 x$ 的图象向右移动 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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7. 直线 $l ： 8 x - 6 y - 3 = 0$ 被圆 $O ： x^{2} + y^{2} - 2 x + a = 0$ 所截得的弦的长度为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、 $- 2$

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8. 如图的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入 $m = 209$ ， $n = 121$ ，则输出的 $m$ 的值为（）

A、0 B、11 C、22 D、88

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9. 设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 为抛物线上一点，且 $P A ⊥ l ， A$ 为垂足，如果直线 $A F$ 的斜率为 $- 1$ ，则 $| P F |$ 等于（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $12$

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10. 若变量 $x ， y$ 满足 $| x | - ln \frac{1}{y} = 0$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $sin A + \sqrt{2} sin B = 2 sin C$ ，则 $cos C$ 的最小值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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12. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $g (x)$ 满足 $g (x) + g (2 - x) = 0$ ，函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的图像是 $g (x)$ 的图像的一部分. 若关于 $x$ 的方程 $g^{2} (x) = a {(x + 1)}^{2}$ 有 $3$ 个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{8} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{4} ， + \infty)$ D、 $(2 \sqrt{2} ， 3)$

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二、填空题

13. 复数 $z$ 满足 $\bar{z} (1 + 2 i) = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ .

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14. 若曲线 $y = a x^{2} - ln x$ 在点 $(1 ， a)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则a=

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15. 若 $x ， y$ 满足不等式 ${\begin{matrix} x + y - 3 \leq 0 \\ x - y + 3 \geq 0 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 18 x + 17 sin x$ ，若对任意的 $θ \in R$ ，不等式
$f (a sin θ + 2) + f (1 + 2 cos 2 θ) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ ，若 $f (- 1) = f (2)$ ，且函数 $y = f (x) - x$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{x} - k$ ，当 $x \in [1 ， 2]$ 时，记 $f (x) ， g (x)$ 的值域分别为 $A ， B$ ， $A \cup^{} B = A$ ，求实数 $k$ 的值．

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18. 随着电子商务的发展，人们的购物习惯正在改变，基本上所有的需求都可以通过网络购物解决. 小韩是位网购达人，每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价. 现对其近年的200次成功交易进行评价统计，统计结果如下表所示.

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
（ $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

(1)、是否有 $99.9 %$ 的把握认为商品好评与服务好评有关? 请说明理由；

(2)、若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行观察，求只有一次好评的概率.
$P (K^{2} > k)$
$0.15$
$0.10$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$k$
$2.072$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3 ， a_{5} = 15$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4 ， b_{5} = 31$ ，设正项等比数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = b_{n} - a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} (a x + b) - e^{x} ln x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，且 $b = 1$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $b = - a$ ，且函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，短轴长为2.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + m$ ( $k \neq 0$ )与 $y$ 轴的交点为 $A$ (点 $A$ 不在椭圆外)，且与椭圆交于两个不同的点 $P ， Q$ . 若线段 $P Q$ 的中垂线恰好经过椭圆的下端点 $B$ ，且与线段 $P Q$ 交于点 $C$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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22. 已知在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为是 ${\begin{matrix} x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 sin θ$ .

(1)、判断直线 $l$ 与曲线 $C$ 的位置关系；

(2)、在曲线 $C$ 上求一点 $P$ ，使得它到直线 $l$ 的距离最大，并求出最大距离.

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23. 设不等式 $- 2 < | x - 1 | - | x + 2 | < 0$ 的解集为 $M$ ， $a ， b \in M$ .

(1)、求集合 $M$ ；

(2)、比较 $| 1 - 4 a b |$ 与 $2 | a - b |$ 的大小，并说明理由．

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	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	80	40	120
对商品不满意	70	10	80
合计	150	50	200

$P (K^{2} > k)$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$