辽宁省凌源二中2017-2018学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | (x - 1) (x + 2) < 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. “ $a > 3$ ”是“函数 $f (x) = x_{}^{2} - 2 a x - 2$ 在区间 $(- \infty ， 2]$ 内单调递减”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也必要条件

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3. 下列说法中正确的是（）

A、“ $f (0) = 0$ ” 是“函数 $f (x)$ 是奇函数” 的充要条件 B、若 $p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} - 1 > 0$ ，则 $\neg p ： \forall x \in R ， x^{2} - x - 1 < 0$ C、若 $p \land q$ 为假命题，则 $p ， q$ 均为假命题 D、“若 $α = \frac{π}{6}$ ，则 $sin α = \frac{1}{2}$ ” 的否命题是“若 $α \neq \frac{π}{6}$ ，则 $sin α \neq \frac{1}{2}$ ”

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4. 函数 $f (x) = \sqrt{x (x + 1)} + ln (- x)$ 的定义域为（）

A、 ${x | x < 0}$ B、 ${x | x \leq - 1} \cup^{} {0}$ C、 ${x | x \leq - 1}$ D、 ${x | x \geq - 1}$

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5. 二项式 ${(a x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{6}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数为 $\sqrt{3}$ ，则 $\int_{0}^{a} x^{2} d x =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、2

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6. 已知 $f (x)$ 是周期为4的偶函数，当 $x \in [0 ， 2]$ 时 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} ， 0 \leq x \leq 1 \\ {log}_{2} x + 1 ， 1 < x \leq 2 \end{matrix}$ ，则 $f (2014) + f (2015) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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8. PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
车流量 $x$ （万辆）
100
102
108
114
116
浓度 $y$ （微克）
78
80
84
88
90
根据上表数据，用最小二乘法求出 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程是（）
参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \cdot \bar{x}$ ；参考数据： $\bar{x} = 108$ ， $\bar{y} = 84$ ；

A、 $\hat{y} = 0.62 x + 7.24$ B、 $\hat{y} = 0.72 x + 6.24$ C、 $\hat{y} = 0.71 x + 6.14$ D、 $\hat{y} = 0.62 x + 6.24$

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9. 某联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法总数是．（）

A、72 B、120 C、144 D、168

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10. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 是曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的一个公共点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别是 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的离心率，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $4 e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、4 C、 $\frac{5}{2}$ D、9

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11. 设函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1) + \frac{8}{3 x^{2} + 1}$ ，则不等式 $f ({log}_{2} x) + f ({log}_{\frac{1}{2}} x) \geq 2$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}] \cup^{} [2 ， + \infty)$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，均有 $(x_{2} - x_{1}) (f (x_{2}) - f (x_{1})) \geq 0$ .当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $2 f (\frac{x}{5}) = f (x) ， f (x) = 1 - f (1 - x)$ ，则 $f (- \frac{290}{2016}) + f (- \frac{291}{2016}) + \dots + f (- \frac{314}{2016}) + f (- \frac{315}{2016}) =$ （）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、 $- 6$ C、 $- \frac{13}{2}$ D、 $- \frac{25}{4}$

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二、填空题

13. 若幂函数 $f (x) = x^{m}$ 的图像过点 $(2 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (4)$ 的值为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $a = 2$ ， $b = \sqrt{7}$ ， $B = 60^{\circ}$ ，则的面积等于.

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15. 若关于 $x$ 的不等式 $4^{x} < {log}_{2 a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq \frac{1}{2}$ ）的解集是 ${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$ ，则 $a$ 的取值的集合是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 x - 1 ， (x > - 1) \\ e^{x} ， (x \leq - 1) \end{matrix}$ ，若 $a < b ， f (a) = f (b)$ ，则实数 $a - 2 b$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知函数 $g (x) = 4^{2 x} - 5 \cdot 2^{2 x + 1} + 16$ ，函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x}{4} \cdot {log}_{4} (4 x^{2})$ ，记集合 $A = {x | g (x) \leq 0}$ .
（I）求集合 $A$ ；
（II）当 $x \in A$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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18. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数： $f_{1} (x) = x^{3}$ ， $f_{2} (x) = 3^{| x |} ， f_{3} (x) = 2$ ， $f_{4} (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ， $f_{5} (x) = sin (\frac{π}{2} + x) ， f_{6} (x) = x cos x .$
（I）从中任意拿取 $2$ 张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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19. 如图，已知长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $D C$ 的中点．将 $Δ A D M$ 沿 $A M$ 折起，使得平面 $A D M$ ⊥平面 $A B C M$ ．
（I）求证： $A D ⊥$ $B M$ ；
（II）若点 $E$ 是线段 $D B$ 上的一动点，当二面角 $E - A M - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求线段 $D E$ 的长．

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20. 已知椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 经过椭圆的右焦点与椭圆交于 $A ， B$ 两点，且 $| A B | = 3$ .
（I）求直线 $l_{1}$ 的方程；
（II）已知过右焦点 $F_{2}$ 的动直线 $l_{2}$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 不同两点，是否存在 $x$ 轴上一定点 $T$ ，使 $∠ O T P = ∠ O T Q$ ？（ $O$ 为坐标原点）若存在，求出点 $T$ 的坐标；若不存在说明理由.

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21. 设函数 $g (x) = (x - 1) e^{m x} - m x^{2}$ ， $f (x) = g (x) + (2 - x) e^{m x}$ ，(其中 $m \in R$ ).
（I）当 $m = 1$ 时，求函数 $g (x)$ 的极值；
（II）求证：存在 $m \in (0 ， 1)$ ，使得 $f (x) \geq 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内恒成立，且方程 $f (x) = 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内有唯一解.

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22. 已知直线 $l$ 的方程为 $y = x + 4$ ，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s θ \\ y = 2 + 2 s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（I）求直线 $l$ 与圆 $C$ 的交点的极坐标；
（II）若 $P$ 为圆 $C$ 上的动点，求 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = m - | x - 3 |$ ，不等式 $f (x) > 2$ 的解集为 ${x | 2 < x < 4}$ .
（I）求实数m的值；
（II）若关于x的不等式 $| x - a | \geq f (x)$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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时间	周一	周二	周三	周四	周五
车流量 $x$ （万辆）	100	102	108	114	116
浓度 $y$ （微克）	78	80	84	88	90