河北省唐山市滦南县2017-2018学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 点M的极坐标为（1，π），则它的直角坐标为（）

A、（1，0） B、（ $- 1$ ，0） C、（0，1） D、（0， $- 1$ ）

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2. 已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $X \sim B (6 ， \frac{1}{3})$ ，则 $P (X = 2) =$ （）

A、 $\frac{80}{243}$ B、 $\frac{13}{243}$ C、 $\frac{4}{243}$ D、 $\frac{3}{16}$

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3. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.8$ ， $P (0 < ξ < 2) =$ （）．

A、 $0.6$ B、 $0.4$ C、 $0.3$ D、 $0.2$

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4. 若直线 ${\begin{matrix} x = 1 - 2 t \\ y = 2 + 3 t \end{matrix}$ （t为参数）与直线 $4 x + k y = 1$ 垂直，则常数k=（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $-$ 6 C、6 D、 $- \frac{8}{3}$

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5. 已知随机变量 $X$ 服从的分布列为
$X$
1
2
3
…
n
P
$\frac{k}{n}$
$\frac{k}{n}$
$\frac{k}{n}$
…
$\frac{k}{n}$
则 $k$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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6. 用反证法证明“如果 $a > b$ ，那么 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ ”假设的内容应是（）

A、 $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$ B、 $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$ C、 $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$ 且 $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$ D、 $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$ 或 $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

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7. 如果 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数是（）

A、21 B、 $- 21$ C、7 D、 $- 7$

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8. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，若 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $8$ B、 $4$ C、 $1$ D、 $2$

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9. 某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）

A、80种 B、90种 C、120种 D、150种

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10. 使 ${(3 x + \frac{1}{x \sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中含有常数项的最小的 $n$ 为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11. 对“ $a ， b ， c$ 是不全相等的正数”，给出下列断断，其中正确的个数为（）
① ${(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} = 0$ ；② $a > b$ 与 $a < b$ 及 $a \neq c$ 中至少有一个成立；③ $a \neq c ， b \neq c ， a \neq b$ 不能同时成立.

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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二、填空题

13. 平面直角坐标系中，若点 $P (3 ， \frac{7 π}{2})$ 经过伸缩变换 ${\begin{matrix} x' = 2 x \\ y' = \frac{1}{3} y \end{matrix}$ 后的点Q ，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于．

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14. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5} ， E (ξ) = 1$ ，则 $D (ξ) =$ .

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15. 设直线 $l ： {\begin{matrix} x = 1 + \frac{3}{5} t \\ y = \frac{4}{5} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{1} ： {\begin{matrix} x = \cos θ \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B | =$ .

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16. 设 $A = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} (n \in N_{+})$ ， $B = \sqrt{n} (n \in N_{+})$ 则 $A$ 与 $B$ 的大小关系是．

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三、解答题

17. 某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学．如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：

身高达标
身高不达标
总计
积极参加体育锻炼
40

不积极参加体育锻炼

15

总计

100
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
参考数据：
P（K²≥k）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

(1)、完成上表；

(2)、能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（ $K^{2}$ 的观测值精确到0.001）．

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18. 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击相互独立，且命中概率都是 $\frac{2}{3}$ ，求

(1)、油罐被引爆的概率；

(2)、如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列．

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19. 某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $\frac{4}{5}$ ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 $p$ ， $q$ ( $p$ ＞ $q$ )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3
$p$
$\frac{6}{125}$
$a$
b
$\frac{24}{125}$
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求 $p$ ， $q$ 的值；
(Ⅲ)求数学期望 $E$ ξ.

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} c o s α \\ y = s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、写出 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P$ 在 $C_{1}$ 上，点 $Q$ 在 $C_{2}$ 上，求 $| P Q |$ 的最小值以及此时 $P$ 的直角坐标.

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21. 某村计划建造一个室内面积为800m²的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = m - | x - 2 | ， m \in R *$ ，且 $f (x + 2) \geq 0$ 的解集为 $[- 1 ， 1]$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $a ， b ， c \in R_{+}$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证： $a + 2 b + 3 c \geq 9$ ．

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$X$	1	2	3	…	n
P	$\frac{k}{n}$	$\frac{k}{n}$	$\frac{k}{n}$	…	$\frac{k}{n}$

	身高达标	身高不达标	总计
积极参加体育锻炼	40
不积极参加体育锻炼		15
总计			100

P（K²≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

ξ	0	1	2	3
$p$	$\frac{6}{125}$	$a$	b	$\frac{24}{125}$