河北省巨鹿县二中2017-2018学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-25 类型：期末考试

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一、选择题

1. 直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + 5 t ， \\ y = 1 - 2 t \end{matrix}$ ( $t$ 为参数)，则直线 $l$ 与坐标轴的交点分别为（）

A、 $(0 ， \frac{2}{5}) ， (\frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{5}) ， (\frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(0 ， - 4) ， (8 ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{5}{9}) ， (8 ， 0)$

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2. 圆 ${\begin{matrix} x = 2 c o s θ ， \\ y = 2 s i n θ + 2 \end{matrix}$ 的圆心坐标是（）

A、(0，2) B、(2，0) C、(0，-2) D、(-2，0)

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3. 已知圆 A ：x²+y²=1 . 在伸缩变换 ${\begin{matrix} x' = 2 x ， \\ y' = 3 y \end{matrix}$ 的作用下变成曲线 C ，则曲线 C 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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4. 在极坐标系中，过点 $(1 ， 0)$ 并且与极轴垂直的直线方程是（）

A、 $ρ = cos θ$ B、 $ρ = sin θ$ C、 $ρ cos θ = 1$ D、 $ρ sin θ = 1$

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5. 复数 $z = \frac{- 3 + i}{2 + i}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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6. 复数的 $Z = \frac{1}{i - 1}$ 模为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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7. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 利用独立性检验来考查两个分类变量 $X$ 和 $Y$ 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“ $X$ 和 $Y$ 有关系”的可信度.如果 $k > 5.024$ ，那么就有把握认为“ $X$ 和 $Y$ 有关系”的百分比为（）
$P (K^{2} > k)$
$0.50$
$0.40$
$0.25$
$0.15$
$0.10$
$K$
$0.455$
$0.708$
$1.323$
$2.072$
$2.706$
$P (K^{2} > k)$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$K$
$3.84$
$5.024$
$6.635$
$7.879$
$10.83$

A、 $25 %$ B、 $75 %$ C、 $2.5 %$ D、 $97.5 %$

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9. 某咖啡厅为了了解热饮的销售量 $y$ (个)与气温 $x$ ( $^{\circ} C$ )之间的关系，随机统计了某 $4$ 天的销售量与气温，并制作了对照表：
气温( )
18
13
10
-1
销售量(个)
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程 .当气温为时，预测销售量约为（）

A、68 B、66 C、72 D、70

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10. 函数的单调减区间为（）

A、， B、， C、 D、，

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11. 曲线 $y = x^{3} - 2 x + 4$ 在点 $(1 ， 3)$ 处的切线的倾斜角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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二、填空题

12. 春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额 $y$ (单位：万元)与当天的平均气温 $x$ (单位：℃)有关.现收集了春节期间这个销售公司 $4$ 天的 $x$ 与 $y$ 的数据列于下表：
平均气温(℃)
$- 2$
$- 3$
$- 5$
$- 6$
销售额(万元)
$20$
$23$
$27$
$30$
根据以上数据，求得 $y$ 与 $x$ 之间的线性回归方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} x + \overset{\land}{a}$ 的系数 $\overset{\land}{b} = - \frac{12}{5}$ ，则 $\overset{\land}{a} =$

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13. 已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4$ ，则函数的单调减区间为.

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14. 在极坐标系中，点 $P (2 ， - \frac{π}{3})$ 到圆 $ρ = - 2 cos θ$ 的圆心的距离为

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15. 在极坐标系中 $(0 \leq θ < 2 π)$ ，曲线 $ρ = 2 sin θ$ 与 $ρ cos θ = - 1$ 的交点的极坐标为.

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三、解答题

16. 已知复数 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 3 - 4 i$ ，且 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为纯虚数，求复数 $z_{1}$ .

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17. 已知曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程 $ρ = 6 cos θ$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点.

(1)、把曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程化为直角方程；

(2)、求弦 $A B$ 的长度.

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18. 已知 $x$ ， $y$ 满足 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ ，求 $S = 3 x - y$ 的最值.

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19. 某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 $120$ 分为优秀， $120$ 分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部 $110$ 人中随机抽取 $1$ 人为优秀的概率为 $\frac{3}{11}$ .

优秀
非优秀
合计
甲班
$10$

乙班

$30$

合计

$110$
参考公式与临界值表： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (K^{2} \geq k)$
$0.100$
$0.050$
$0.025$
$0.010$
$0.001$
$k$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
$10.828$

(1)、请完成上面的列联表；

(2)、根据列联表的数据，若按 $99.9 %$ 的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

(3)、若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人；把甲班优秀的 $10$ 名学生从 $2$ 到 $11$ 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 $9$ 号或 $10$ 号的概率.

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20. 从某居民区随机抽取 $10$ 个家庭，获得第 $i$ 个家庭的月收入 $x_{i}$ (单位：千元)与月储蓄 $y_{i}$ (单位：千元)的数据资料，算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 80$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 20$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 184$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 720$ .

(1)、求家庭的月储蓄 $y$ 对月收入 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、判断变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关还是负相关；

(3)、若该居民区某家庭月收入为 $7$ 千元，预测该家庭的月储蓄.其中 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ 为样本平均值，线性回归方程也可写为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c$ 在点 $x = 2$ 处取得极值 $c - 16$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 有极大值 $28$ ，求 $f (x)$ 在 $[- 3 ， 3]$ 上的最小值．

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$P (K^{2} > k)$	$0.50$	$0.40$	$0.25$	$0.15$	$0.10$
$K$	$0.455$	$0.708$	$1.323$	$2.072$	$2.706$
$P (K^{2} > k)$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$K$	$3.84$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.83$

平均气温(℃)	$- 2$	$- 3$	$- 5$	$- 6$
销售额(万元)	$20$	$23$	$27$	$30$

$P (K^{2} \geq k)$	$0.100$	$0.050$	$0.025$	$0.010$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$10.828$

气温( )	18	13	10	-1
销售量(个)	24	34	38	64

	优秀	非优秀	合计
甲班	$10$
乙班		$30$
合计			$110$