甘肃省师大附中2017-2018学年高二下学期理数期末模拟试卷

试卷更新日期：2018-09-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\frac{1 + 3 i}{1 - i} =$ （）

A、 $- 2 - 4 i$ B、 $- 2 + 4 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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2. “大自然是懂数学的”，自然界中大量存在如下数列：1，1，2，3， $x$ ，8，13，21， $\dots$ ，则其中 $x$ 的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 函数 $y = x^{2} cos x$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = 2 x cos x - x^{2} sin x$ B、 $y^{'} = 2 x cos x + x^{2} sin x$ C、 $y^{'} = x^{2} cos x - 2 x sin x$ D、 $y^{'} = x cos x - x^{2} sin x$

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4. 从 $7$ 名同学（其中 $4$ 男 $3$ 女）中选出 $4$ 名参加环保知识竞赛，若这 $4$ 人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（）

A、 $34$ B、 $31$ C、 $28$ D、 $25$

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5. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、145 B、105 C、30 D、135

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6. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ （吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = 0.7 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、0.25 B、0.35 C、0.45 D、0.55

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7. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (a ， 4)$ ，且 $P (X > 1) = 0.5$ ， $P (X > 2) = 0.3$ ， $P (X < 0)$ 等于（）

A、 $0.2$ B、 $0.3$ C、 $0.7$ D、 $0.8$

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8. 函数 $f (x) = ln x - 2 x$ 的递减区间是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ 和 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$ 和 $(0 ， \frac{1}{2})$

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9. 有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（）

A、8种 B、16种 C、32种 D、48种

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10. 若随机变量 $X$ 的分布列为：
已知随机变量 $Y = a X + b$ $(a ， b \in R ， a > 0)$ ，且 $E (Y) = 10 ， D (Y) = 4$ ，则 $a$ 与 $b$ 的值为（）

A、 $a = 10 ， b = 3$ B、 $a = 3 ， b = 10$ C、 $a = 5 ， b = 6$ D、 $a = 6 ， b = 5$

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11. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为 $ξ$ ，已知 $P (ξ = 1) = \frac{16}{45}$ ，且该产品的次品率不超过 $40 %$ ，则这10件产品的次品率为（）

A、 $10 %$ B、 $20 %$ C、 $30 %$ D、 $40 %$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - m x$ ( $e$ 为自然对数的底数)，若 $f (x) > 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \infty ， e)$ C、 $(\frac{e^{2}}{4} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{e^{2}}{4})$

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二、填空题

13. 若复数 $\frac{a + i}{1 - i}$ 为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为.

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14. 为了了解司机开车时礼让斑马线行人的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计数据：

礼让斑马线行人
不礼让斑马线行人
男性司机人数
40
15
女性司机人数
20
25
若以 $x^{2}$ 为统计量进行独立性检验，则 $x^{2}$ 的值是.（结果保留2位小数）
参考公式 $x^{2} = \frac{n (n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}$

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15. 若 $(3 x^{2} - a) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为80，则 $a =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{a} - 2 x^{2} + ln x$ （ $a > 0$ ），若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上为单调函数，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17.

(1)、求 ${(x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{10}$ 的展开式中的常数项；

(2)、设 ${(2 x - \sqrt{3})}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ，
求 $(a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10}) (a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \dots + a_{10})$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in [- 1 ， 2]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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19. 学校高三数学备课组为了更好地制定复习计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：
期末分数段
$(0 ， 60)$
$[60 ， 75)$
$[75 ， 90)$
$[90 ， 105)$
$[105 ， 120)$
$[120 ， 150]$
人数
5
10
15
10
5
5
“过关”人数
1
2
9
7
3
4

(1)、由以上统计数据完成如下 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有 $95 %$ 的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”有关？说明你的理由：

分数低于90分人数
分数不低于90分人数
合计
“过关”人数

“不过关”人数

合计

(2)、在期末分数段 $[105 ， 120)$ 的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．
下面的临界值表供参考：
$P (K^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
$k$
2.072
2.706
3.841
5.024
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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20. 3名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？

(1)、任何2名女生都不相邻，有多少种排法？

(2)、男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示）

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21. 某市疾控中心流感监测结果显示，自 $2017$ 年 $11$ 月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是 $12$ 月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知 $6$ 位同学中有 $1$ 位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；
方案乙：先任取 $3$ 个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这 $3$ 位中的 $1$ 位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外 $3$ 位同学中逐个检测；

(1)、求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；

(2)、 $η$ 表示依方案甲所需化验次数， $ξ$ 表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳．

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22. 已知函数 $f (x) = a^{2} ln x + a x - x^{2} + a$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x_{0}) > a - \frac{1}{2 e}$ ，求正数 $a$ 的取值范围.

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	礼让斑马线行人	不礼让斑马线行人
男性司机人数	40	15
女性司机人数	20	25

期末分数段	$(0 ， 60)$	$[60 ， 75)$	$[75 ， 90)$	$[90 ， 105)$	$[105 ， 120)$	$[120 ， 150]$
人数	5	10	15	10	5	5
“过关”人数	1	2	9	7	3	4

	分数低于90分人数	分数不低于90分人数	合计
“过关”人数
“不过关”人数
合计

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024