广东省2018届高三下学期文数模拟考试卷

试卷更新日期：2018-09-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $\frac{4 - 2 i}{1 + i} =$ （）

A、 $3 - i$ B、 $3 + i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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2. 已知 $\overset{⇀}{a} = (- 1 ， 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (m ， m - 4)$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $1$ B、 $- 2$ C、 $3$ D、 $6$

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3. 已知 $x \in R$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5}$ ，集合 $B = {x - 2 ， x ， x + 2}$ ，若 $A \cap^{} B = {0 ， 2}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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4. 空气质量指数（简称： $AQI$ ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照 $AQI$ 大小分为六级： $[0 ， 50)$ 为优， $[50 ， 100)$ 为良， $[100 ， 150)$ 为轻度污染， $[150 ， 200)$ 为中度污染， $[200 ， 250)$ 为重度污染， $[250 ， 300)$ 为严重污染.下面记录了北京市 $22$ 天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（）

A、在北京这 $22$ 天的空气质量中，按平均数来考察，最后 $4$ 天的空气质量优于最前面 $4$ 天的空气质量 B、在北京这 $22$ 天的空气质量中，有 $3$ 天达到污染程度 C、在北京这 $22$ 天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D、在北京这 $22$ 天的空气质量中，达到空气质量优的天数有 $6$ 天

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5. 如图， $\vec{A D}$ 是以正方形的边 $A D$ 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）

A、 $\frac{π}{16}$ B、 $\frac{3}{16}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $1$ ，公比 $q \neq - 1$ ，且 $a_{5} + a_{4} = 3 (a_{3} + a_{2})$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $- 9$ B、 $9$ C、 $- 81$ D、 $81$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点坐标为 $(4 ， 0)$ ，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{8} = 1$

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8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $8 π + 6$ B、 $6 π + 6$ C、 $8 π + 12$ D、 $6 π + 12$

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9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的球心 $O$ 恰好是线段 $A B$ 的中点，且 $A C = B C = B D = A D = \sqrt{2} C D = 2$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 15$ ，且满足 $\frac{a_{n + 1}}{2 n - 3} = \frac{a_{n}}{2 n - 5} + 1$ ，已知 $n ， m \in N^{*}$ ， $n > m$ ，则 $S_{n} - S_{m}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{49}{4}$ B、 $- \frac{49}{8}$ C、 $- 14$ D、 $- 28$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - ln x$ ，则下面对函数 $f (x)$ 的描述正确的是（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) \leq 2$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > 2$ C、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x_{0}) = 0$ D、 $f {(x)}_{min} \in (0 ， 1)$

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二、填空题

13. 将函数 $f (x) = 2 sin (2 x + φ) (φ < 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到偶函数 $g (x)$ 的图象，则 $φ$ 的最大值是．

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14. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq 2 ， \\ y \geq - x + 1 ， \\ y \geq x - 1 ， \end{matrix}$ 则 $z = 3 x - 4 y - 12$ 的最大值为．

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15. 设函数 $f (x) = a + {log}_{2} x$ 在区间 $[1 ， a]$ 上的最大值为 $6$ ，则 $a =$ ．

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相交于两点，且这两点间的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该抛物线的焦点到准线的距离为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $B = 60^{\circ}$ ， $c = 8$ .

(1)、若点 $M$ 是线段 $B C$ 的中点， $\frac{A N}{B M} = \sqrt{3}$ ，求 $b$ 的值；

(2)、若 $b = 12$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 经销商第一年购买某工厂商品的单价为 $a$ （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：
上一年度
销售额/万元
$[0 ， 100)$
$[100 ， 200)$
$[200 ， 300)$
$[300 ， 400)$
$[400 ， 500)$
$[500 ， + \infty)$
商品单价/元
      $a$
    $0.9 a$
   $0.85 a$
    $0.8 a$
   $0.75 a$
    $0.7 a$
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了 $50$ 个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.
已知某经销商下一年购买该商品的单价为 $X$ （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率.

(1)、求 $X$ 的平均估计值.

(2)、为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额 $m$ （单位：万元），年销售额超过 $m$ 的可以获得红包奖励，该工厂希望使 $62 %$ 的经销商获得红包，估计 $m$ 的值，并说明理由.

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19. 如图：在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $E D C F$ 是正方形， $∠ A D E = 90^{\circ}$ ，

(1)、证明： $Δ F C B$ 为直角三角形；

(2)、已知四边形 $A B C D$ 是等腰梯形，且 $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $A D = D E = 1$ ，求五面体 $A B C D E F$ 的体积.

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20. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $F_{2}$ 也为抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 8 x$ 的焦点.

(1)、若 $M$ ， $N$ 为椭圆 $C_{1}$ 上两点，且线段 $M N$ 的中点为 $(1 ， 1)$ ，求直线 $M N$ 的斜率；

(2)、若过椭圆 $C_{1}$ 的右焦点 $F_{2}$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ ，设线段 $A B$ ， $C D$ 的长分别为 $m$ ， $n$ ，证明 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 是定值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{m}{e^{x}} + n x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + 2$ ，求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、当 $n = 1$ 时，在区间 $(- \infty ， 1]$ 上至少存在一个 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{3}{4} + \sqrt{3} t ， \\ y = a + \sqrt{3} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），圆 $C$ 的标准方程为 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ .以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求直线 $l$ 和圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若射线 $θ = \frac{π}{3} (ρ > 0)$ 与 $l$ 的交点为 $M$ ，与圆 $C$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，且点 $M$ 恰好为线段 $A B$ 的中点，求 $a$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = | m x + 3 | - | 2 x + n |$ .

(1)、当 $m = 2$ ， $n = - 1$ 时，求不等式 $f (x) < 2$ 的解集；

(2)、当 $m = 1$ ， $n < 0$ 时， $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 $24$ ，求 $n$ 的取值范围.

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