2018届高三TOP20理数四月联考试卷

试卷更新日期：2018-09-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 < x < 5} ， B = {x | x (x - 3) < 0}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 $(0 ， 5)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 5)$ D、 $(0 ， 3)$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{2 - i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5} i$

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3. 已知 $\overset{⇀}{a} = (x ， 1) ， \overset{⇀}{b} = (- 2 ， 4)$ ，若 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $x =$ （）

A、8 B、10 C、11 D、12

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4. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中， $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形 $D E F G$ 中的概率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{4}$

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出 $S$ 的值为（）

A、5 B、11 C、14 D、19

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6. 过双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，与双曲线 $E$ 的渐近线交于 $C ， D$ 两点，若 $| A B | = \frac{\sqrt{3}}{2} | C D |$ ，则双曲线 $E$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm 2 \sqrt{3} x$

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7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、 $\frac{21}{2} + \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}$ B、 $10 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{21}{2} + 4 \sqrt{2}$ D、 $\frac{21 + \sqrt{3}}{2} + 4 \sqrt{2}$

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8. 已知 $f (x) = (x^{2} + 1) (1 + | x |)$ ，则不等式 $f (lg x) < f (1)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{10}) \cup^{} (10 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{10} ， 10)$ C、 $(0 ， 10)$ D、 $(\frac{1}{100} ， 10)$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 7 ， a_{n + 1} - 2 \sqrt{a_{n} + 2} = a_{n} + 1$ ，则 $a_{30} =$ （）

A、1028 B、1026 C、1024 D、1022

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10. 已知 $D = {(x ， y) | {\begin{matrix} x - y + 1 > 0 \\ x - t < 0 \\ y + t > 0 \end{matrix}}$ ，若存在点 $(x_{0} ， y_{0}) \in D$ ，使得 $x_{0} - 3 y_{0} = 3$ ，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{3}{4} ， + \infty)$ D、 $(- \frac{3}{4} ， + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 cos x + sin 2 x - \frac{2}{π - 2 x}$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ 上的所有零点之和为（）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{3}{2} π$

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12. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = C P = 1 ， ∠ A B C = ∠ B C P = 120 °$ ，平面 $P B C$ 和平面 $A B C$ 所成角为 $120 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为（）

A、 $\frac{13 \sqrt{13}}{6} π$ B、 $\frac{13 \sqrt{10}}{6} π$ C、 $\frac{13 \sqrt{13}}{3} π$ D、 $\frac{13 \sqrt{10}}{3} π$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} ， x < 1 \\ {log}_{3} x ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (0) =$ ， $f (f (0)) =$ ．

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14. 已知 ${(x^{2} - x - 2)}^{n}$ 的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为． (用数字作答).

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15. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，其准线为直线 $l$ ，过点 $M (5 ， 2 \sqrt{5})$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ，则 $∠ F M H$ 的角平分线所在的直线斜率是．

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16. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a^{2} = b^{2} + 2 b c sin A ， 0 < A < \frac{π}{2}$ ，则 $tan A - 4 tan B$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} (n \in N^{*})$ 满足 $2 S_{n} = 3 a_{n} - a_{1}$ ，且 $a_{2} + 2$ 是 $a_{1} ， a_{3}$ 的等差中项， ${b_{n}}$ 是等差数列， $b_{2} = a_{2} ， b_{8} = a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图所示，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $Δ A B C$ 和 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 均为等边三角形，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为直角梯形， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B_{1} C_{1} = C C_{1} = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $D ， E$ 分别为 $A A_{1} ， C B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $A - A_{1} E - C_{1}$ 的余弦值.

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19. 某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了40件产品作为样本，检测某一项质量指标值 $t$ ，得到如图所示的频率分布直方图，若 $t < 20$ ，亦则该产品为示合格产品，若 $20 \leq t < 50$ ，则该产品为二等品，若 $t \geq 50$ ，则该产品为一等品.

(1)、用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；

(2)、根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；

(3)、从甲生产线的样本中，满足质量指标值 $t$ 在 $[0 ， 20)$ 的产品中随机选出3件，记 $X$ 为指标值 $t$ 在 $[10 ， 20)$ 中的件数，求 $X$ 的分布列和数学期望•

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20. 已知 $N$ 为圆 $C_{1} ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 24$ 上一动点，圆心 $C_{1}$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $C_{2}$ ，点 $M ， P$ 分别是线段 $C_{1} N ， C_{2} N$ 上的点，且 $\overset{⇀}{M P} \cdot \overset{⇀}{C_{2} N} = 0 ， \overset{⇀}{C_{2} N} = 2 \overset{⇀}{C_{2} P}$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + m$ 与点 $M$ 的轨迹 $Γ$ 只有一个公共点 $P$ ，且点 $P$ 在第二象限，过坐标原点 $O$ 且与 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $Δ P A B$ 面积的取值范围.依据题干

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21. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = [f (e) + e - 1] ln x - x + e f^{'} (e) + e$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、证明： $x f (x) < e^{x} - 2 x^{2} + x - 1$ .

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22. 已知平面直角坐标系中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{5} c o s α \\ y = 2 + \sqrt{5} s i n α \end{matrix}$ ( $α$ 为参数），直线 $l_{1} ： x = 0$ ，直线 $l_{2} ： x - y = 0$ ，以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、写出曲线 $C$ 和直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $O ， A$ 两点，直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于 $O ， B$ 两点，求 $| A B |$ .

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23. 已知 $f (x) = | 2 x + a | - | x - 2 |$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 3 a^{2} - 3 | 2 - x |$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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