安徽省“皖南八校”2018届高三理数第三次（4月）联考试卷

试卷更新日期：2018-09-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {y \in R | y = 2^{x} ， x 〉 0} ， N = {x \in R | x^{2} - 2 x < 0}$ ，则 $M \cap^{} N =$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0] \cup^{} (1 ， + \infty)$

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2. 复数 $z = a^{2} - 1 + (a + 1) i$ 为纯虚数（ $i$ 为虚数单位），其中 $a \in R$ ，则 $\frac{a - i}{2 + a i}$ 的实部为（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. 在区间 $[- 3 ， 5]$ 上随机地取一个数 $x$ ，若 $x$ 满足 $| x | \leq m (m > 0)$ 的概率为 $\frac{7}{8}$ ，则 $m$ 的值等于（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $- 2$

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4. 已知非零向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ ，满足 $| \overset{⇀}{a} | = \frac{\sqrt{2}}{2} | \overset{⇀}{b} |$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ (3 \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{3}{4} π$ B、 $\frac{1}{4} π$ C、 $\frac{1}{2} π$ D、 $π$

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5. 定义某种运算 $\otimes ： S = m \otimes n$ 的运算原理如右边的流程图所示，则 $6 \otimes 5 - 4 \otimes 7 =$ （）

A、 $3$ B、 $1$ C、 $4$ D、 $0$

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6. 中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $64 π$

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7. 已知函数 $f (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x}$ ，若 $x ， y$ 满足 $f (x) + f (- \frac{1}{2} y) \geq 0$ ，则 $\frac{y}{x + 3}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $[- 1 ， 1]$

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8. 若函数 $f (x) = A sin (w x + φ) (A > 0 ， w > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的单调递减区间是（）

A、 $[2 k π - \frac{π}{12} ， 2 k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π + \frac{5 π}{12} ， 2 k π + \frac{11 π}{12}] (k \in Z)$ C、 $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$ D、 $[k π + \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{11 π}{12}] (k \in Z)$

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9. 函数 $f (x) = x cos (x^{2} - 2 x - 3)$ 在区间 $[- 1 ， 4]$ 上的零点个数为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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10. 删去正整数数列 $1 ， 2 ， 3 ， \dots$ 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）

A、 $2062$ B、 $2063$ C、 $2064$ D、 $2065$

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11. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线左右两支分别交于 $A ， B$ 两点，若 $Δ A B F_{2}$ 是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{15}$

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12. 若 $x ， a ， b$ 均为任意实数，且 ${(a + 2)}^{2} + {(b - 3)}^{2} = 1$ ，则 ${(x - a)}^{2} + {(ln x - b)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $18$ C、 $3 \sqrt{2} - 1$ D、 $19 - 6 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为．（用数字作答）

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14. 如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中 $A B C D$ 是矩形， $A B F E$ 和 $C D E F$ 都是等腰梯形，且 $A D ⊥$ 平面 $C D E F$ ，现测得 $A B = 20 c m ， A D = 15 c m ， E F = 30 c m$ ， $A B$ 与 $E F$ 间的距离为 $25 c m$ ，则几何体 $E F - A B C D$ 的体积为 $c m^{3}$ ．

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15. 四边形 $A B C D$ 中， $A = 60^{0} ， cos B = \frac{1}{7} ， A B = B C = 7$ ，当边 $C D$ 最短时，四边形 $A B C D$ 的面积为．

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16. 已知 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点， $E$ 为其准线与 $x$ 轴的交点，过 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，且 $| M E | = \sqrt{11}$ ，则 $| A B | =$ ．

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三、解答题

17. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 ， a_{n} ， S_{n}$ 成等差数列。

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $a_{n}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{b_{n}}$ ，求 $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ 的值。

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18. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， $O$ 为 $A C$ 和 $B D$ 的交点，
若 $A B = A A_{1} = 2 ， ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{0}$ 。

(1)、求证： $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - B D - C$ 的余弦值。

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19. 自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：

(1)、采用分层抽样的方式从年龄在 $[25 ， 35)$ 内的人中抽取 $10$ 人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？

(2)、在（1）中选出 $10$ 人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；

(3)、用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列。

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20. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，椭圆 $C$ 上一点 $M$ 到左右两个焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 的距离之和是4.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知过 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且两点与左右顶点不重合，若 $\overset{⇀}{F_{1} M} = \overset{⇀}{F_{1} A} + \overset{⇀}{F_{1} B}$ ，求四边形 $A M B F_{1}$ 面积的最大值。

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} - a x$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 。

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $e^{x_{1}} + e^{x_{2}} > 4$ 。

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 c o s α \\ y = 2 s i n α \end{matrix} (α$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 $ρ (sin θ + \sqrt{3} cos θ) = \sqrt{3}$ 。

(1)、求 $C$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $O M ： θ = θ_{1} (\frac{π}{6} \leq θ_{1} \leq \frac{π}{3})$ 与圆 $C$ 的交点为 $O ， P$ 与直线 $l$ 的交点为 $Q$ ，求 $| O P | \cdot | O Q |$ 的范围。

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23. 已知 $f (x) = 2 | x - 2 | + | x + 1 |$ 。

(1)、求不等式 $f (x) < 6$ 的解集；

(2)、设 $m ， n ， p$ 为正实数，且 $m + n + p = f (2)$ ，求证： $m n + n p + p m \leq 3$ .

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