佛山市2018年普通高中高三理数教学质量检测（二）

试卷更新日期：2018-09-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，若 $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {3 ， 4 ， 5}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${2 ， 5}$

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2. 复数 $z = \frac{1 - 2 i}{2 + i} + \frac{2}{1 + i} (i$ 为虚数单位)的共轭复数 $\bar{z}$ $=$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 已知 $\cos α = \frac{1}{7} ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{11}{14}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{14}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{14}$ D、 $\frac{13}{14}$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项为 $S_{n} ， b_{n} = 2^{a_{n}}$ 且 $b_{1} + b_{3} = 17 ， b_{2} + b_{4} = 68$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、90 B、100 C、110 D、120

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5. 某同学用收集到的 6 组数据对 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6)$ 制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线 $l$ 的方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，相关系数为 $r$ .
现给出以下3个结论：
① $r > 0$ ； ②直线 $l$ 恰好过点 $D$ ； ③ $\hat{b} > 1$ ；其中正确结论是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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6. 函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + \cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期和振幅分别是（）

A、 $π ， \sqrt{2}$ B、 $π ， 2$ C、 $2 π ， 1$ D、 $2 π ， \sqrt{2}$

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7. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）

A、 $y = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{x^{2}}$ B、 $y = x + \frac{2}{x}$ C、 $y = \frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}$ D、 $y = {sin}^{2} (x - \frac{π}{4}) - \frac{1}{2}$

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8. 执行如图所示的程序框图，当输出的 $S = 2$ 时，则输入的 $S$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知 $a > 0$ ，设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + a \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{matrix}$ ，且 $z = 2 x - y$ 的最小值为-4，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知 $A ， F ， P$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若 $∠ P F A = 2 ∠ P A F$ 恒成立，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $1 + \sqrt{3}$

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11. 如图，正方形 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 4 ，点 $P 、 Q$ 分别在底面 $A B C D$ 、棱 $A A_{1}$ 上运动，且 $P Q = 4$ ，点 $M$ 为线段 $P Q$ 运动时，则线段 $C_{1} M$ 的长度的最小值为（）

A、2 B、 $4 \sqrt{3} - 2$ C、6 D、 $4 \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c ， g (x) = | f (x) |$ ，曲线 $C ： y = g (x)$ 关于直线 $x = 1$ 对称，现给出如结论：①若 $c > 0$ ，则存在 $x_{0} < 0$ ，使 $f (x_{0}) = 0$ ；②若 $c < - 1$ ，则不等式 $g (x + 1) > g (x)$ 的解集为 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ ；③若 $- 1 < c < 0$ ，且 $y = k x$ 是曲线 $C ： y = g (x) (x < 0)$ 的一条切线，则 $k$ 的取值范围是 $(- \frac{27}{4} ， - 2)$ .其中正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 已知 $a ， b$ 均为单位向量，且它们的夹角为120°，则 $| 4 a + b | =$ ．

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14. ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是.

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15. 若抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点在直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 上，则直线截抛物线的弦长为．

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16. 若使得 ${(\frac{10}{17})}^{n} < 10^{- 10}$ 成立的最小整数 $n = 44$ ，则使得 ${(\frac{17}{10})}^{m} > 10^{4}$ 成立的最小整数 $m =$ ．

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三、解答题

17. 如图，在平面四边形 $A B D C$ 中， $∠ A B C = \frac{3}{4} π ， A B ⊥ A D ， A B = 1$ .
(Ⅰ)若 $A C = \sqrt{5}$ ，求 $△ ABC$ 的面积；
(Ⅱ)若 $∠ A D C = \frac{π}{6} ， C D = 4$ ，求 $\sin ∠ C A D$ .

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18. 如图，在多面体 $A B D C$ 中， $B D ⊥$ 平面 $A B C ， A E / / B D ， A B ⊥ A C ， B C = B D = 2 A E$ ，直线 $C D$ 与平面 $A B D E$ 所成的角为30°， $M$ 为 $C D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $B C D ⊥$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求二面角 $C - B E - M$ 的大小.

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19. 单位计划组织55名职工进行一种疾病的筛查，先到本单位医务室进行血检，血检呈阳性者再到医院进一步检测．已知随机一人血检呈阳性的概率为 1% ，且每个人血检是否呈阳性相互独立.

(1)、根据经验，采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检人员随机等分成若干组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．
现有两个分组方案：
方案一：将 55 人分成 11 组，每组 5 人；
方案二：将 55 人分成5组，每组11 人；
试分析哪一个方案工作量更少？

(2)、若该疾病的患病率为 0.4% ，且患该疾病者血检呈阳性的概率为99% ，该单位有一职工血检呈阳性，求该职工确实患该疾病的概率.(参考数据： $099^{5} = 0.951 ， {0.99}^{11} = 0.895.$ )

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20. 已知椭圆 $T ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点为 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0)$ .过 $F_{1}$ 作直线 $l_{1}$ 交椭圆 $T$ 于 $A 、 C$ ，过 $F_{2}$ 作直线 $l_{2}$ 交椭圆 $T$ 于 $B 、 D$ ，且 $l_{1}$ 垂直 $l_{2}$ 于点 $P$ .

(1)、证明：点 $P$ 在椭圆 $T$ 内部；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最小值.

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21. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x (e^{x} - 2 a) - a x^{2}$ .

(1)、若 $f (x)$ 有极小值且极小值为0，求 $a$ 的值；

(2)、当 $x \in R$ 时， $f (x) + f (- x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a + \sqrt{3} \cos t \\ y = \sqrt{3} \sin t \end{matrix} (t$ 为参数， $a > 0$ ).以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 上一点 $A$ 的极坐标为 $(1 ， \frac{π}{3})$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = \cos θ$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、设点 $M ， N$ 在 $C_{1}$ 上，点 $P$ 在 $C_{2}$ 上（异于极点），若 $O ， M ， P ， N$ 四点依次在同一条直线 $l$ 上，且 $| M P | ， | O P | ， | P N |$ 成等比数列，求 $l$ 的极坐标方程.

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23. 设函数 $f (x) = | x + a | ， a > 0$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < x^{2}$ 的解集；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + f (1 - x)$ 的图象与直线 $y = 11$ 所围成的四边形面积大于20，求 $a$ 的取值范围.

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