河南省商丘市2017-2018高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2018-09-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{5}{2 + i^{3}}$ ( $i$ 是虚数单位）的共辄复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

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2. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{9 - x^{2}}} ， B = {x | x \geq a}$ ，若 $A \cap^{} B = A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 3)$ B、 $(- \infty ， - 3]$ C、 $(- \infty ， 0]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，且 $a_{8} + a_{9} + a_{10} = 24$ ，则 $a_{1} \cdot d$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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4. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 $a ， b$ 分别为91，39，则输出的 $a =$ （）

A、11 B、12 C、13 D、14

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5. 高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（）

A、 $A_{6}^{2} \times A_{5}^{4}$ 种 B、 $A_{6}^{2} \times 5^{4}$ 种 C、 $C_{6}^{2} \times A_{5}^{4}$ 种 D、 $C_{6}^{2} \times 5^{4}$ 种

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6. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，若目标函数 $z = a x + y (a > 0)$ 的最大值为 $18$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $5$ C、 $7$ D、 $9$

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7. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = {log}_{a} (x + \sqrt{x^{2} + b})$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上既是奇函数又是增函数，则函数 $g (x) = {log}_{a} | | x | - b |$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，直线 $l ： y = k x + m$ 与椭圆相切，记 $F_{1} 、 F_{2}$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $d_{1} ， d_{2}$ ，则 $d_{1} \cdot d_{2}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A、 $8 \sqrt{3} + 6 π$ B、 $8 \sqrt{3} + \frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{32 \sqrt{3}}{3} + 6 π$ D、 $\frac{32 \sqrt{3}}{3} + \frac{16 π}{3}$

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10. 将函数 $f (x) = cos \frac{ω x}{2} (2 sin \frac{ω x}{2} - 2 \sqrt{3} cos \frac{ω x}{2}) + \sqrt{3} (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{12}]$ 上为增函数，则 $ω$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，在双曲线 $C$ 的右支上存在点 $P$ ，且满足 $| O P | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $tan ∠ P F_{2} F_{1} \geq 3$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1 ， \frac{\sqrt{17}}{3}]$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(1 ， \frac{\sqrt{26}}{4}]$ D、 $(1 ， \frac{\sqrt{10}}{2}]$

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12. 记函数 $f (x) = e^{- x} - 2 x - a$ ，若曲线 $y = x^{3} + x (x \in [- 1 ， 1])$ 上存在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 使得 $f (y_{0}) = y_{0}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e^{- 2} - 6] \cup^{} [e^{2} + 6 ， + \infty)$ B、 $[e^{- 2} - 6 ， e^{2} + 6]$ C、 $(e^{- 2} - 6 ， e^{2} + 6)$ D、 $(- \infty ， e^{- 2} - 6) \cup^{} (e^{2} + 6 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知球的表面积为 $8 π$ ，此球面上有 $A ， B ， C$ 三点，且 $A B = A C = \sqrt{2} ， B C = 2$ ，则球心到平面 $A B C$ 的距离为

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14. 已知 $A ， B$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上的两个动点， $\overset{⇀}{O C} = \frac{5}{2} \overset{⇀}{O A} - \frac{\sqrt{2}}{2} \overset{⇀}{O B} ， | \overset{⇀}{A B} | = 2 \sqrt{2}$ ，若 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，则 $\overset{⇀}{O C} \cdot \overset{⇀}{O M}$ 的值为．

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15. $(x + \frac{a}{x}) \cdot {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为．

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16. 已知曲线 $C ： y^{2} = 2 x + a$ 在点 $P_{n} (n ， \sqrt{2 n + a}) (a > 0 ， n \in N)$ 处的切线 $l_{n}$ 的斜率为 $k_{n}$ ，直线 $l_{n}$ 交 $x$ 轴、 $y$ 轴分别于点 $A_{n} (x_{n} ， 0) 、 B_{n} (0 ， y_{n})$ ，且 $| x_{0} | = | y_{0} |$ .
给出以下结论：① $a = 1$ ；②当 $n \in N^{*}$ 时， $y_{n}$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；③当 $n \in N^{*}$ 时， $k_{n} > \sqrt{2} sin \frac{1}{\sqrt{2 n + 1}}$ ；④当 $n \in N^{*}$ 时，记数列 ${k_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} < \sqrt{2} (\sqrt{n + 1} - 1)$ .其中，正确的结论有． (写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $sin (A + C) = 2 sin A cos (A + B)$ ，且 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B - {sin}^{2} C + \sqrt{2} sin A sin B = 0$ .

(1)、求证： $a ， b ， 2 a$ 成等比数列；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积是2，求 $c$ 边的长.

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18. 世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别
$[0 ， 20)$
$[20 ， 40)$
$[40 ， 60)$
$[60 ， 80)$
$[80 ， 100]$
频数
$2$
$250$
$450$
$290$
$8$

(1)、求所得样本的中位数（精确到百元）；

(2)、根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出 $X$ 服从正态分布 $N (51 ， 15^{2})$ ，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；

(3)、已知本数据中旅游费用支出在 $[80 ， 100]$ 范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列与数学期望.
附：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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19. 如图所示的几何体是由棱台 $P M N - A B D$ 和棱锥 $C - B D N M$ 拼接而成的组合体，其底面四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A P = 2 P M = 2$ .

(1)、求证： $M N ⊥ P C$ ；

(2)、求平面 $M N C$ 与平面 $A P M B$ 所成锐角二面角的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过焦点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $y_{1} y_{2} = - 4$ .

(1)、求抛物线方程；

(2)、点 $B$ 在准线 $l$ 上的投影为 $E$ ， $D$ 是 $C$ 上一点，且 $A D ⊥ E F$ ，求 $△ A B D$ 面积的最小值及此时直线 $A D$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = (2 x + 1) ln (2 x + 1) - a {(2 x + 1)}^{2} - x (a > 0)$ .

(1)、如图，设直线 $x = - \frac{1}{2} ， y = - x$ 将坐标平面分成 $Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 、 Ⅳ$ 四个区域（不含边界），若函数 $y = f (x)$ 的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a > \frac{1}{2}$ 时，求证： $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 2 f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ .

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 cos θ + 2 sin θ$ ，直线 $l_{1}$ ： $θ = \frac{π}{6} (ρ \in R)$ ，直线 $l_{2}$ ： $θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ .以极点 $O$ 为原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系.

(1)、求直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的直角坐标方程以及曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、已知直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $O$ ， $M$ 两点，直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于 $O$ ， $N$ 两点，求 $△ O M N$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + 2 | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 4$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) > 2 m^{2} - 7 m + 4$ 对于 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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组别	$[0 ， 20)$	$[20 ， 40)$	$[40 ， 60)$	$[60 ， 80)$	$[80 ， 100]$
频数	$2$	$250$	$450$	$290$	$8$