安徽省马鞍山市2018届高三文数第二次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2018-09-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = ln (x + 1)}$ ，集合 $B = {x | | x | \leq 2}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $R$ C、 $(- 1 ， 2]$ D、 $(0 ， + \infty]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z i = 3 + 4 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的方差为1，则 $2 x_{1} + 4 ， 2 x_{2} + 4 ， \dots ， 2 x_{n} + 4$ 的方差为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{3} \cdot a_{5} = 4 (a_{4} - 1)$ ，则 $a_{7}$ 的值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $E ， F$ 分别为 $B C ， C D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \bar{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $8 - \frac{π}{3}$ D、 $8 - \frac{2 π}{3}$

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8. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ ”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问一边在勾上的内接正方形边长为多少步？ ”现向此三角形内投一粒豆子，则豆子落在这个内接正方形内的概率是（）

A、 $\frac{90}{289}$ B、 $\frac{120}{289}$ C、 $\frac{180}{289}$ D、 $\frac{240}{289}$

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9. 执行如图所示的程序框图，则输出 $d$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2} + 1$

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10. 设 $ω > 0$ ，函数 $y = 2 cos (ω x + \frac{π}{5})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度后与函数 $y = 2 sin (ω x + \frac{π}{5})$ 图象重合，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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11. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 且斜率为1的直线交抛物线于 $A ， B$ 两点， $| A F | \cdot | B F | = 8$ ，则 $p$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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12. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上满足 $f (x) + f (- x) = x^{2}$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f^{'} (x) > x$ .若 $f (1 + a) - f (1 - a) \geq 2 a$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0]$ D、 $(- \infty ， 1]$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{2} (1 - x) ， x < 1 \\ 3^{x} - 7 ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，若 $f (x) = - 1$ ，则 $x =$ ．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为 $a$ ，则双曲线的离心率为．

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15. 在中，角所对的边分别为， $cos 2 A + 3 cos A = 1 ， b = 5$ ， $Δ A B C$ 的面积 $S = 5 \sqrt{3}$ ，则 $Δ A B C$ 的周长为．

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = 1 ， B C = \sqrt{2} ， C D = A C = \sqrt{3}$ ，当三梭锥 $A - B C D$ 的体积最大时，其外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 37 ， S_{4} = 152$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} - 2^{n} |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = B B_{1} = 4 ， A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = 2$ ，且 $B_{1} B ⊥$ 面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $D ， G$ 分别为 $A C ， B C$ 的中点， $E ， F$ 为 $A_{1} C_{1}$ 上两动点，且 $E F = 2$ .

(1)、求证： $B D ⊥ G E$ ；

(2)、求四面体 $B - G E F$ 的体积.

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19. 某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：

(1)、由以上统计数据完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有 $95 %$ 的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

(2)、若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率.

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20. 在直角坐标系中，已知点 $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，两动点 $C (0 ， m) ， D (0 ， n)$ ，且 $m n = 3$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点为 $P$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $F (1 ， 0)$ 作直线 $l$ 交动点 $P$ 的轨迹于 $M ， N$ 两点，试求 $\overset{⇀}{F M} \cdot \overset{⇀}{F N}$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{x} ， a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域内无极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证：当 $0 < a 〈 1 ， x 〉 0$ 时， $f (x) > 1$ 恒成立.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为： ${\begin{matrix} x = - \sqrt{6} - \sqrt{2} t \\ y = 2 \sqrt{6} + \sqrt{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴)中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 4 \sqrt{6} cos θ$ .

(1)、求圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设圆 $C$ 与直线 $l$ 交于点 $A ， B$ ，求 $| A B |$ 的大小.

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | + | x + m |$ ， $g (x) = x^{2} + 3 x + 2$ .

(1)、若 $m > 0$ 且 $f (x)$ 的最小值为1，求 $m$ 的值；

(2)、不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 $A$ ，不等式 $g (x) \leq 0$ 的解集为 $B$ ， $B \subseteq A$ ，求 $m$ 的取值范围.

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