河南省2018届高三4月普通高中毕业班理数高考适应性考试卷

试卷更新日期：2018-09-20 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合 $A = {x | - 3 \leq 2 x - 1 \leq 3}$ ，集合 $B = {x | x - 1 ＞ 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若 $\frac{1}{1 - i} = a + b i (a ， b \in R)$ ，则 $a^{b} =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、2

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3. 下列说法中，正确的是（）

A、命题“若 $a m^{2} < b m^{2}$ ，则 $a < b$ ”的逆命题是真命题 B、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} > 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x \leq 0$ ” C、命题“ $p$ 或 $q$ ”为真命题，则命题“ $p$ ”和命题“ $q$ ”均为真命题 D、已知 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x > 2$ ”的充分不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线为 $l$ ，动点 $(a ， b)$ 在直线 $l$ 上，则 $2^{a} + 2^{- b}$ 的最小值是（）

A、4 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. $(1 + \frac{1}{x}) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、10 B、15 C、20 D、25

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出 $n$ 的值为（）

A、14 B、13 C、12 D、11

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7. 三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角 $α$ 满足 $sin α + cos α = \frac{7}{5}$ ，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = {log}_{0.5} (sin x + {cos}^{2} x - 1)$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $f (x)$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， - 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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9. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 是 $C$ 上一点，若 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 6 a$ ，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的最小内角的大小为 $30^{\circ}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程是（）

A、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ B、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ C、 $x \pm 2 y = 0$ D、 $2 x \pm y = 0$

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10. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的三视图如图所示，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积是（）

A、 $20 π$ B、 $\frac{101 π}{5}$ C、 $25 π$ D、 $22 π$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n} (n \in N^{*})$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ ，则实数 $\frac{a_{12}}{b_{6}} =$ （）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{23}{7}$ D、3

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12. 定义域为 $[a ， b]$ 的函数 $y = f (x)$ 的图象的两个端点分别为 $A (a ， f (a))$ ， $B (b ， f (b))$ ， $M (x ， y)$ 是 $f (x)$ 图象上任意一点，其中 $x = λ a + (1 - λ) b$ $(0 < λ < 1)$ ，向量 $\overset{⇀}{B N} = λ \overset{⇀}{B A}$ .若不等式 $| \overset{⇀}{M N} | \leq k$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上为“ $k$ 函数”.已知函数 $y = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 5$ 在 $[0 ， 3]$ 上为“ $k$ 函数”，则实数 $k$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x + 2 y \leq 6 \end{matrix}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值为

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14. 如图，已知点 $A (0 ， 1)$ ，点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} > 0)$ 在曲线 $y = x^{2}$ 上移动，过 $P$ 点作 $P B$ 垂直 $x$ 轴于 $B$ ，若图中阴影部分的面积是四边形 $A O B P$ 面积的 $\frac{1}{3}$ ，则 $P$ 点的坐标为

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15. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ ，斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点.若以线段 $A B$ 为直径的圆与抛物线的准线切于点 $P$ ，则点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $a_{n} + S_{n} = 3 n - 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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二、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，已知 $a^{2} + 4 S = b^{2} + c^{2}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求角 $C$ .

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18. 某公司要根据天气预报来决定五一假期期间5月1日、2日两天的宣传活动，宣传既可以在室内举行，也可以在广场举行.统计资料表明，在室内宣传，每天可产生经济效益8万元.在广场宣传，如果不遇到有雨天气，每天可产生经济效益20万元；如果遇到有雨天气，每天会带来经济损失10万元.若气象台预报5月1日、2日两天当地的降水概率均为 $40 %$ .

(1)、求这两天中恰有1天下雨的概率；

(2)、若你是公司的决策者，你会选择哪种方式进行宣传（从“2天都在室内宣传”“2天都在广场宣传”这两种方案中选择）？请从数学期望及风险决策等方面说明理由.

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19. 如图，在边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60^{\circ}$ .点 $E$ ， $F$ 分别在边 $C D$ ， $C B$ 上，点 $E$ 与点 $C$ ， $D$ 不重合， $E F ⊥ A C$ ， $E F \cap^{} A C = O$ .沿 $E F$ 将 $Δ C E F$ 翻折到 $Δ P E F$ 的位置，使平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B F E D$ .

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、当 $P B$ 与平面 $A B D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 时，求平面 $P B F$ 与平面 $P A D$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知动点 $P$ 与 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 两点连线的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过点 $E (1 ， 0)$ 的直线交曲线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $M A$ ， $N B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试判断 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x + 1}{x} - a$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $g (x) = x ln x - \frac{1}{2} a x^{2} + \frac{a}{2}$ 有两个极值点，试判断函数 $g (x)$ 的零点个数.

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22. 已知直线 $l$ ： $ρ sin (θ + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} m$ ，曲线 $C$ ： ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{3} c o s θ \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{matrix}$ .

(1)、求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | \geq 3$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + 2 |$ ， $g (x) = | x + 1 | - | x - a | + a$ .

(1)、解不等式 $f (x) > 3$ ；

(2)、对于 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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