四川省宜宾市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $a$ $= (1 ， 2) ，$ $b$ $= (3 ， x) ，$ 若 $a$ $/ /$ $b$ ，则实数 $x =$ （）

A、3 B、 $- \frac{3}{2}$ C、5 D、6

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2} = 1 ， a_{8} = 13$ ，则公差 $d$ =（）

A、 $2$ B、 $3$ C、4 D、 $5$

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3. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $∠ A = 60^{\circ} ， a = \sqrt{3} ， b = \sqrt{2} ，$ 则 $∠ B =$ （）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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4. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，则异面直线 $D_{1} C_{1}$ 与 $A C$ 所成角是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A E} =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $4$ D、 $- 4$

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6. 设 $a ， b$ 是空间中不同的直线， $α ， β$ $α ， β$ 是不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、 $a / / b ， b \subset α ，则 a / / α$ B、 $a \subset α ， b \subset β ， α / / β$ ，则 $a / / b$ C、 $a \subset α ， b \subset α ， a / / β ， b / / β ，则 α / / β$ D、 $α / / β ， a ⊥ β ，则 a ⊥ α$

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7. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1$

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8. 设 $a ， b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{2} > a b$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$ D、 $2^{- a} < 2^{- b}$

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9. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 是 $B C$ 上的点，且满足 $\overset{⇀}{B C} = 4 \overset{⇀}{D C}$ ， $\overset{⇀}{A D} = m \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A C}$ ，则 $\frac{m}{n}$ 的值分别是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $4$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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10. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ 的值（）

A、 $\frac{n - 1}{n}$ B、 $\frac{n + 1}{n}$ C、 $\frac{n - 1}{n + 1}$ D、 $\frac{n}{n + 1}$

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11. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A D} = 0$ ， $| \overset{⇀}{A C} | = 3 ， | \overset{⇀}{B D} | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{D C} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项分别为 $a_{2} ， a_{5} ， a_{11}$ ，设向量 $\overset{⇀}{O Q_{n}} = （ \frac{a_{n}}{n} ， \frac{S_{n}}{n^{2}} ）$ ( $∴ T_{n} < 2$ )，则 $| \overset{⇀}{O Q_{n} |}$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 不等式 $x^{2} - 3 x - 10 < 0$ 解集是．

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14. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x + y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值是．

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15. 若互不相等的实数 $a ， b ， c$ 成等差数列， $b ， a ， c$ 成等比数列，且 $a + 3 b + c = 5 ，$ 则 $a =$ ．

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16. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 2 \sqrt{5} ， A B = 4$ ，若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为．

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三、解答题

17. 已知向量 $| a | = 1$ ， $| b | = 2$ .

(1)、若 $a$ 与 $b$ 的夹角是 $120 °$ ，求 $| a + b |$ ；

(2)、若 $(a - b) ⊥ a$ ，求 $a$ 与 $b$ 的夹角.

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18. 在公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中，若首项 $a_{1} = 1$ ， $a_{4}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{8}$ 的等比中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${2^{n} \cdot a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ B D C = 45 °$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $A D = 2$ ， $B D = \sqrt{6}$ .

(1)、求 $∠ A D C$ 的大小；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ B C D$ 的面积.

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20. 如图所示，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，已知 $PA ⊥ 底面 ABCD$ 底面 $A B C D$ 是矩形， $O$ 是 $B D$ 的中点， $P A = A D$ .

(1)、在线段 $P D$ 上找一点 $M$ ，使得 $OM ∥ 平面 PAB$ ，并说明理由；

(2)、在（1）的条件下，求证 $平面 ABM ⊥ 平面 PCD$ .

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21. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，且不等式 $f (x) < 2 x$ 的解集为 $(1 ， 3)$ ，对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x) \geq 2$ 恒成立.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $k f (2^{x}) - 2^{x} + 1 \leq 0$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ），且 $a_{2} = 5$ .

(1)、证明 ${\frac{a_{n}}{2^{n}} + 1}$ 为等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} {=log}_{3} (a_{n} + 2^{n})$ ，且 $T_{n} = \frac{1}{b_{1}^{2}} + \frac{1}{b_{2}^{2}} + \frac{1}{b_{3}^{2}} + \dots + \frac{1}{b_{n}^{2}}$ 证明 $T_{n} < 2$ ；

(3)、在（2）小问的条件下，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式恒成立，试求实数 $λ$ 的取值范围.

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