辽宁省抚顺市六校2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $tan α = - 2$ ，其中 $α$ 是第二象限角，则 $cos α$ = （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2. 要得到 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，只需将y=3sin2x的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位

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3. 执行如图所示的程序框图，输出的 $s$ 值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、2

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4. 已知 $sin (α - β) cos α - cos (α - β) sin α = \frac{3}{5}$ ，那么 $cos 2 β$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{18}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $- \frac{18}{25}$

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5. 与函数 $y = tan (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象不相交的一条直线是（）

A、 $x = \frac{π}{2}$ B、 $y = \frac{π}{2}$ C、 $x = \frac{π}{8}$ D、 $y = \frac{π}{8}$

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6. 设向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， 1) ， \vec{c} = \vec{a} + k \vec{b}$ ，若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $k$ 的值等于（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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7. 直线 $l ： 2 x sin θ + 2 y cos θ + 1 = 0$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x sin θ + 2 y cos θ = 0$ ， $l$ 与 $C$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、相切 D、不能确定

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8. 某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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9. 已知方程 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值是（）

A、14－ $6 \sqrt{5}$ B、14＋ $6 \sqrt{5}$ C、9 D、14

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10. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + ϕ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， 0 < ϕ < π)$ 的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为 $\frac{π}{12}$ 和 $\frac{7 π}{12}$ ，图象在轴上的截距为 $\sqrt{3}$ ，给出下列四个结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为π；
② $f (x)$ 的最大值为2；
③ $f (\frac{π}{4}) = 1$ ；
④ $f (x - \frac{π}{6})$ 为奇函数．
其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 在直角三角形 $A B C$ 中，点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，点 $P$ 为线段 $C D$ 的中点， $\frac{{| \overset{⇀}{P A} |}^{2} + {| \overset{⇀}{P B} |}^{2}}{{| \overset{⇀}{P C} |}^{2}} =$ ( ）

A、2 B、4 C、5 D、10

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12. 设 $f (x) = 4 cos (ω x - \frac{π}{6}) sin ω x - cos (2 ω x + π)$ ，其中 $ω > 0$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上为增函数，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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二、填空题

13. 欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 $c m$ 的圆，中间有边长为1 $c m$ 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是．

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14. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 0.25$ .由以上信息，得到下表中 $c$ 的值为.

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15. 若向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 3)$ ，向量 $\overset{⇀}{b} = (- 4 ， 7)$ ，则 $a$ 在 $b$ 上的正射影的数量为

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16. 由正整数组成的一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为.（从小到大排列）

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三、解答题

17. 已知 $f (α) = \frac{sin (2 π - α) cos (π + α) cos (\frac{π}{2} + α)}{cos (π - α) sin (3 π - α) cos (- π - α)}$

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α$ 是第三象限角，且 $cos (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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18. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40）， $\dots$ ，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

(2)、已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；

(3)、已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

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19. 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.

(1)、根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

(2)、计算甲班的样本方差；

(3)、现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率.

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x²＋y²－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4）．

(1)、设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)、设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5} ， x_{0} \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值．

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22. 已知向量 $\overset{⇀}{m} = (sin (x - \frac{π}{4}) ， 1)$ ， $\overset{⇀}{n} = (cos (x - \frac{π}{4}) ， 3)$ ， $f (x) = \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n}$

(1)、求出 $f (x)$ 的解析式，并写出 $f (x)$ 的最小正周期，对称轴，对称中心；

(2)、令 $h (x) = f (x - \frac{π}{6})$ ，求 $h (x)$ 的单调递减区间；

(3)、若 $m$ $/ /$ $n$ ，求 $f (x)$ 的值．

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