四川省攀枝花市2017-2018学年高一下学期数学期末调研试卷

试卷更新日期：2018-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = k \vec{a} - \vec{b} (k \in R)$ ，若 $\vec{c} / / \vec{d}$ ，则（）

A、 $k = 1$ 且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 同向 B、 $k = 1$ 且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向 C、 $k = - 1$ 且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 同向 D、 $k = - 1$ 且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向

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2. 若直线 $x + m y - 1 = 0$ 的倾斜角为 $30^{\circ}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 实数 $a ， b$ 满足 $a > b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} < 1$ B、 $a^{\frac{1}{3}} < b^{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} < \sqrt{a - b}$ D、 $a^{2} < a b$

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4. 设 $M$ 是 $Δ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{B M} = \vec{M C}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\vec{A B} - \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} + \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{A B} - \vec{A C})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

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5. 圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 关于直线 $x - y - 2 = 0$ 对称的圆的方程为（）

A、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）

A、 $11$ B、 $10$ C、 $9$ D、 $8$

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7. 设实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值是（）

A、 $8$ B、 $4$ C、 $2$ D、 $- 1$

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8. 点 $P$ 是直线 $x + y - 3 = 0$ 上的动点，由点 $P$ 向圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 作切线，则切线长的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $c^{2} - a^{2} = b^{2} - \sqrt{2} a b$ ，且 $c = \sqrt{2}$ ，则 $a - \frac{\sqrt{2}}{2} b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， \sqrt{2})$ C、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ D、 $(0 ， \sqrt{2})$

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10. 设 $M$ 是 $Δ A B C$ 内一点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 30^{\circ}$ ，设 $f (M) = (m ， n ， p)$ ，其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 分别是 $Δ M B C$ 、 $Δ M C A$ 、 $Δ M A B$ 的面积.若 $f (M) = (\frac{1}{2} ， x ， y)$ ，则 $\frac{2 x + 2 y}{x y}$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、8

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$ .设 $b_{n + 1} = (n - 2 λ) \cdot (\frac{1}{a_{n}} + 1) (n \in N^{*})$ ， $b_{1} = λ^{2} - 5 λ$ ，且数列 ${b_{n}}$ 是单调递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- 1 ， \frac{3}{2})$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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12. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔 $20000$ m，速度为 $900$ km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 $30^{\circ}$ ，经过80s后又看到山顶的俯角为 $75^{\circ}$ ，则山顶的海拔高度为（）

A、 $5000 (\sqrt{3} + 1) m$ B、 $5000 (\sqrt{3} - 1) m$ C、 $5000 (3 - \sqrt{3}) m$ D、 $5000 (5 - \sqrt{3}) m$

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二、填空题

13. 两平行直线 $3 x + 4 y + 3 = 0$ 与 $6 x + m y - 4 = 0$ 间的距离为．

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14. 二次不等式 $a x^{2} + b x - 1 < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{3} < x < 1}$ ，则 $a b =$ ．

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15. 平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ， $\vec{b} = (x ， y) (x > 0)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ．若对任意实数t都有 $| t \vec{a} - \vec{b} | \geq 1$ ，则向量 $\vec{b} =$ .

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16. 若等腰 $Δ A B C$ 的周长为3，则 $Δ A B C$ 的腰 $A B$ 上的中线 $C D$ 的长的最小值为．

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三、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ .
（Ⅰ）求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；
（Ⅱ）设 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b}$ ，求以 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - \frac{5}{6}$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ $(n \in N^{*})$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = n a_{n}$ ，求 $| b_{1} | + | b_{2} | + \dots + | b_{12} |$ ．

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19. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a cos B = c - \frac{b}{2}$ ．
（Ⅰ）求角 $A$ ；
（Ⅱ）若 $Δ A B C$ 外接圆的面积为 $4 π$ ，且 $Δ A B C$ 的面积 $S = 2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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20. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $3 x - y - 5 = 0$ 上，并且经过点 $A (1 ， 4)$ 和 $B (3 ， 2)$ ．
（Ⅰ）求圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若直线 $l$ 过点 $D (1 ， 0)$ 与圆 $C$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，求 $Δ C P Q$ 的面积的最大值，并求此时直线 $l$ 的方程．

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21. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划. $2018$ 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 $2500$ 万元，每生产 $x$ （百辆），需另投入成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = {\begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x < 40 \\ 501 x + \frac{10000}{x} - 4500 ， x \geq 40 \end{matrix}$ .由市场调研知，每辆车售价 $5$ 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)、求出2018年的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）

(2)、2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

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22. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} = 2 \sqrt{S_{n}} - 1 (n \in N^{*})$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若 $\frac{b_{n}}{1 - T_{n}} \leq λ (n + 4) - 1$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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