山西省大同市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{8} = 16$ ， $a_{4} = 1$ ，则 $a_{6}$ 的值为（）

A、15 B、17 C、22 D、64

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2. 若 $\frac{sin α}{tan α} < 0$ ，且 $cos α \cdot tan α < 0$ ，则角 $α$ 是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第四象限 D、第三象限

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3. 下列命题中正确的是（）

A、 $a > b$ ， $c > d \Rightarrow a - c > b - d$ B、 $a > b \Rightarrow \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ C、 $a c^{2} > b c^{2} \Rightarrow a > b$ D、 $a c < b c \Rightarrow a < b$

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{6}}{S_{3}} = 4$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}} =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、4

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5. 已知不等式 $a x^{2} + 5 x + b > 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，则不等式 $b x^{2} - 5 x + a > 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - \frac{1}{2} < x < - \frac{1}{3}}$ B、 ${x | x 〈 - \frac{1}{2} 或 x 〉 - \frac{1}{3}}$ C、 ${x | x 〈 - 3 或 x 〉 - 2}$ D、 ${x | - 3 < x < - 2}$

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6. 已知向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = 2$ ， $| \vec{n} | = 3$ ， $| \vec{m} - \vec{n} | = \sqrt{17}$ ，则 $| \vec{m} + \vec{n} | =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{17}$ D、9

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7. 在 $Δ A B C$ 中，若 $2 cos B sin A = sin C$ ，则 $Δ A B C$ 的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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8. 实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 0]$

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9. 若函数 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图象如图所示，且在 $y$ 轴上的截距为 $\sqrt{2}$ ， $M ， N$ 分别是这段图象的最高点和最低点，则 $\overset{⇀}{O N}$ 在 $\overset{⇀}{O M}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{\sqrt{29}}{29}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{29}}{29}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，若 $C = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 3$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $6 sin (A + \frac{π}{3}) + 3$ B、 $6 sin (A + \frac{π}{6}) + 3$ C、 $2 \sqrt{3} sin (A + \frac{π}{3}) + 3$ D、 $2 \sqrt{3} sin (A + \frac{π}{6}) + 3$

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11. 设四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $| \overset{⇀}{A B} | = 6$ ， $| \overset{⇀}{A D} | = 4$ .若点 $M ， N$ 满足 $\overset{⇀}{B M} = 3 \overset{⇀}{M C}$ ， $\overset{⇀}{D N} = 2 \overset{⇀}{N C}$ ，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{N M} =$ （）

A、20 B、9 C、15 D、6

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12. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，若 $x + 2 y > m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 6)$ B、 $(- \infty ， 6]$ C、 $(- \infty ， 8]$ D、 $(- \infty ， 8)$

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二、填空题

13. $sin 240 ° =$ ．

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14. 已知 $tan α = 2$ ，则 $sin α cos α =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，将其图像向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，若函数 $g (x)$ 为奇函数，则 $φ$ 的最小值为．

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16. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{4} = 81$ ，若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，则数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ＝．

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17. 在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $b^{2} = a c$ ， $a^{2} - c^{2} = a c - b c$ ，则 $\frac{c}{b sin B} =$ ．

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三、解答题

18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $2 S_{n} = 1 - a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + 2 n - 1$ ，求数列 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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19. 已知向量 $\vec{a} = (sin x ， cos x)$ ， $\vec{b} = (sin x ， sin x)$ ， $\vec{c} = (- 1 ， 0)$

(1)、若 $x = \frac{π}{3}$ ，求向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{c}$ 的夹角；

(2)、若 $x \in [- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{4}]$ ，求函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最值以及相应的 $x$ 的取值.

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20. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{2 b - \sqrt{3} c}{\sqrt{3} a} = \frac{cos C}{cos A}$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $∠ B = \frac{π}{6}$ ， $B C$ 边上的中线 $A M = \sqrt{7}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 (S_{n} + 1) (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，又 $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都成立

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} + 1$ ，证明 ${c_{n}}$ 为等比数列；

(3)、求数列 ${a_{n} \cdot c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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