广东省深圳市2017届高三下学期第一次调研考试（一模）理数试题

试卷更新日期：2017-03-01 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合 $A = {2 ， 4 ， 6 ， 8} ， B = {x | x^{2} - 9 x + 18 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${4 ， 6}$ C、 ${6 ， 8}$ D、 ${2 ， 8}$

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2. 若复数 $\frac{a + i}{1 + 2 i} (a \in R)$ 为纯虚数，其中 $i$ 为虚数单位，则 $a =$ （）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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3. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = a \cdot 3^{n - 1} + b$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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5. 直线 $l : k x + y + 4 = 0 (k \in R)$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 6 = 0$ 的一条对称轴，过点 $A (0, k)$ 作斜率为1的直线 $m$ ，则直线 $m$ 被圆 $C$ 所截得的弦长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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6.
祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为 h(0<h<2) 的平面截该几何体，则截面面积为（）

A、 $4 π$ B、 $π h^{2}$ C、 $π {(2 - h)}^{2}$ D、π（4-h²）

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7. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1} \cdot \cos x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $a > b > 0, c < 0$ ，下列不等关系中正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $a^{c} > b^{c}$ C、 $\log_{a} (a - c) > \log_{b} (b - c)$ D、 $\frac{a}{a - c} > \frac{b}{b - c}$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）

A、335 B、336 C、337 D、338

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10. 已知 $F$ 是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过点 $F$ 作 $E$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，线段 $P F$ 与 $E$ 相交于点 $Q$ ，记点 $Q$ 到 $E$ 的两条渐近线的距离之积为 $d^{2}$ ，若 $| F P | = 2 d$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 3 D、4

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11. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，球 $O$ 与该正方体的各个面相切，则平面 $A C B_{1}$ 截此球所得的截面的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}, x \neq 0, e$ 为自然对数的底数，关于 $x$ 的方程 $\sqrt{f (x)} + \frac{2}{\sqrt{f (x)}} - λ = 0$ 有四个相异实根，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{e})$ B、 $(2 \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(e + \frac{2}{e}, + \infty)$ D、 $(\frac{e^{2}}{2} + \frac{4}{e^{2}}, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $p = (1, 2), q = (x, 3)$ ，若 $p ⊥ q$ ，则 $| p + q | =$ ．

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14. ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ 的二项展开式中，含 $x$ 的一次项的系数为．（用数字作答）

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15. 若实数 $x, y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 \\ 2 x - 3 y - 8 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，目标函数 $z = k x - y$ 的最大值为12，最小值为0，则实数 $k =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $n a_{n + 2} - (n + 2) a_{n} = λ (n^{2} + 2 n)$ ，其中 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，若 $a_{n} < a_{n + 1}$ 对 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $2 a = \sqrt{3} c \sin A - a \cos C$ ．

(1)、求 ∠ $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积 $S$ 的最大值．

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18.
如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，四边形 $A C E F$ 为平行四边形，设 $B D$ 与 $A C$ 相交于点 $G$ ， $A B = B D = 2 ， A E = \sqrt{3} ， ∠ E A D = ∠ E A B$ ．

(1)、证明：平面 $A C E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A E$ 与平面 $A B C D$ 所成角为60°，求二面角 $B - E F - D$ 的余弦值．

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19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.

(1)、求某户居民用电费用 $y$ （单位：元）关于月用电量 $x$ （单位：度）的函数解析式；

(2)、
为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求 $a ， b$ 的值；

(3)、在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 $Y$ 为该居民用户1月份的用电费用，求 $Y$ 的分布列和数学期望．

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20. 已成椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1} 、 A_{2}$ ，上下顶点分别为 $B_{2} 、 B_{1}$ ，左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，其中长轴长为4，且圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{12}{7}$ 为菱形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的内切圆．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $N (n, 0)$ 为 $x$ 轴正半轴上一点，过点 $N$ 作椭圆 $C$ 的切线 $l$ ，记右焦点 $F_{2}$ 在 $l$ 上的射影为 $H$ ，若 $Δ F_{1} H N$ 的面积不小于 $\frac{3}{16} n^{2}$ ，求 $n$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x ， e$ 为自然对数的底数．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = e^{- 2}$ 处的切线方程；

(2)、关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq λ (x - 1)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $λ$ 的值；

(3)、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有两个实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $| x_{1} - x_{2} | < 2 a + 1 + e^{- 2}$ ．

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22. 在直角坐标系中 $x O y$ 中，已知曲线 $E$ 经过点 $P (1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ，其参数方程为 ${\begin{matrix} x = a \cos α \\ y = \sqrt{2} \sin α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $E$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 交 $E$ 于点 $A 、 B$ ，且 $O A ⊥ O B$ ，求证： $\frac{1}{{| O A |}^{2}} + \frac{1}{{| O B |}^{2}}$ 为定值，并求出这个定值．

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23. 已知 $f (x) = | x + a |, g (x) = | x + 3 | - x$ ，记关于 $x$ 的不等式 $f (x) < g (x)$ 的解集为 $M$ ．

(1)、若 $a - 3 \in M$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $[- 1, 1] \subseteq M$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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