内蒙古包头市2017-2018年高一下学期数学期末联考卷

试卷更新日期：2018-09-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{2} + a_{8} = 12$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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2. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C_{1}$ 与 $D_{1} C$ 所成角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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3. 若 $x > 2$ ，则 $x + \frac{4}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为正数的等比数列，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = 16$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前7项和为（）

A、63 B、64 C、127 D、128

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5. 已知 ${\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} 2 x + 3 y \leq 6 \\ x - y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最大值为（）

A、9 B、0 C、 $\frac{12}{5}$ D、 $- 9$

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6. 关于利用斜二侧法得到的直观图有下列结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是（）

A、①② B、① C、③④ D、①②③④

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7. 把边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，当 $B$ 、 $D$ 两点距离为 $a$ 时，二面角 $B - A C - D$ 的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $(3 + 2 \sqrt{2}) π$ B、 $(4 + 4 \sqrt{2}) π$ C、 $(3 + 4 \sqrt{2}) π$ D、 $(4 + 2 \sqrt{2}) π$

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9. 直线 $l$ 过点 $P (1 ， 0)$ ，且与以 $A (2 ， 1)$ ， $B (0 ， \sqrt{3})$ 为端点的线段总有公共点，则直线 $l$ 斜率的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{3} ， 1]$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] \cup^{} [1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \sqrt{3}]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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10. 直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 关于直线 $x = 1$ 对称的直线方程是（）

A、 $x + 2 y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x + y - 3 = 0$ D、 $x + 2 y - 3 = 0$

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11. 已知 $A (3 ， - 1)$ ， $B (5 ， - 2)$ ，点 $P$ 在直线 $x + y = 0$ 上，若使 $| P A | + | P B |$ 取最小值，则点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(\frac{13}{5} ， - \frac{13}{5})$ D、 $(- 2 ， 2)$

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12. 已知正 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，把 $Δ A B D$ 沿 $A D$ 折起，点 $B$ 的对应点为点 $B'$ ，当三棱锥 $B' - A D C$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 时，三棱锥 $B' - A D C$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} π$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{5 \sqrt{5}}{6} π$

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二、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $(3 - a) x - y + a = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为或．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 50 \sqrt{3}$ ， $c = 150$ ， $B = 30 °$ ，则边长 $a =$ 或．

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15. 已知 $α$ 为锐角，且 $cos (α + \frac{π}{3}) = \frac{5}{13}$ ，则 $cos α =$ ．

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16. 给出下列命题：
①如果 $a$ ， $b$ 是两条直线，且 $a ∥ b$ ，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何平面；
②如果直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a ∥ α$ ，那么直线 $a$ 与平面 $α$ 内的任何直线平行；
③如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a ∥ α$ ， $b ∥ α$ ，那么 $a ∥ b$ ；
④如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a ∥ b$ ， $a ∥ α$ ， $b ⊄ α$ ，那么 $b ∥ α$ ；
⑤如果平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 满足 $α ∥ γ$ ， $β ∥ γ$ ，那么 $α ∥ β$ .
其中正确命题的序号是．

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三、解答题

17. 求满足下列条件的直线的方程：

(1)、直线 $l$ 经过点 $A (2 ， - 3)$ ，并且它的倾斜角等于直线 $y = \frac{1}{3} x$ 的倾斜角的2倍，求直线 $l$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $P (2 ， 4)$ ，并且在 $x$ 轴上的截距是 $y$ 轴上截距的 $\frac{1}{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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18. 若函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin x cos x + 2 {cos}^{2} x + m - 1$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为-2.

(1)、求 $m$ 的值及 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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19. 已知正方形的中心为直线 $x - y + 1 = 0$ 和直线 $2 x + y + 2 = 0$ 的交点，其一边所在直线方程为 $x + 3 y - 2 = 0$ ，求其它三边所在直线的方程.

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20. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $3 a cos C = 3 b - 2 c$ .

(1)、求 $sin A$ 的值；

(2)、若 $b = 3 \sqrt{2} sin B$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若 $a = \sqrt{6}$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1}$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ， $∠ C A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60 °$ ，点 $D$ 是 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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22. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n} + 1$

(1)、求证：数列 ${a_{n} - 2^{n}}$ 为等差数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {log}_{2} (a_{n} + 1 - n)$ ，求证： $\frac{1}{b_{1} b_{3}} + \frac{1}{b_{2} b_{4}} + \frac{1}{b_{3} b_{5}} + \dots + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}} < \frac{3}{4}$ .

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