黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高一下学数学期期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 1}$ ， $B = {x | x 〉 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0]$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1)$

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2. 《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{16}{29}$ D、 $\frac{16}{31}$

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3. 若三点 $A (2 ， 3)$ ， $B (3 ， a)$ ， $C (4 ， b)$ 共线，则有（）

A、 $a = 3 ， b = - 5$ B、 $a - b + 1 = 0$ C、 $2 a - b = 3$ D、 $a - 2 b = 0$

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4. 已知角 $α$ 为第二象限角，且 $sin α = \frac{3}{5}$ ，则 $tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 在 $Δ A B C$ 中，若 $sin A > sin B$ ，则 $A$ 与 $B$ 的关系为（）

A、 $A < B$ B、 $A > B$ C、 $A + B > \frac{π}{2}$ D、 $A + B < \frac{π}{2}$

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6. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} = 3$ ， $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 21$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $6$ B、 $9$ C、 $12$ D、 $18$

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7. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + t \vec{b})$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $2$

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8. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若 $x_{1} ， x_{2} \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 若函数 $y = \frac{x^{2} + t x + 9}{x} (x > 0)$ 有两个零点，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3)$ C、 $(- 6 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 6)$

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10. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $B C = C C_{1} = 1$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 若等边 $Δ A B C$ 的边长为 $3$ ， $N$ 为 $A B$ 的中点，且 $A B$ 上一点 $M$ 满足： $\vec{C M} = x \vec{C A} + y \vec{C B} (x > 0 ， y > 0)$ ，则当 $\frac{9}{x} + \frac{1}{y}$ 取得最小值时， $\vec{C M} \cdot \vec{C N =}$ （）

A、 $\frac{21}{4}$ B、 $6$ C、 $\frac{27}{4}$ D、 $\frac{15}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} - x^{2} + 2 x - \frac{5}{4} ， x \leq 1 ， \\ {log}_{\frac{1}{3}} x - \frac{1}{4} ， x > 1. \end{matrix}$ 若 $g (x) = | a - 2 | sin x (x \in R)$ 对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，都有 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ B、 $[\frac{7}{4} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{7}{4}] \cup^{} [\frac{9}{4} ， + \infty)$ D、 $[\frac{7}{4} ， \frac{9}{4}]$

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二、填空题

13. 函数 $y = sin x + cos x$ 的最大值是．

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14. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为 $3$ 的周期函数，如图表示该函数在区间 $(- 2 ， 1]$ 上的图象，则 $f (2018) + f (2019) =$ ．

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15. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x - y + b \geq 0 ， \\ 3 x - y - 3 \leq 0 ， \\ x + y \geq 0 ， \end{matrix}$ 若目标函数 $z = - \frac{1}{2} x + y$ 的最大值为 $2$ ，则实数 $b =$ ．

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中，顶点 $P$ 在底面的射影为 $H$ .给出下列命题：
①若 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 两两互相垂直，则 $H$ 为 $Δ A B C$ 的垂心；
②若 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 两两互相垂直，则 $Δ A B C$ 有可能为钝角三角形；
③若 $A C ⊥ B C$ ，且 $H$ 与 $A$ 重合，则三棱锥 $P - A B C$ 的各个面都是直角三角形；
④若 $A C ⊥ B C$ ，且 $H$ 为 $A B$ 边的中点，则 $P A = P B = P C$ .
其中正确命题的序号是．（把你认为正确的序号都填上）

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三、解答题

17. 已知直线 $l ： x + 2 y + 4 = 0$ 及点 $A (1 ， - 2)$ .

(1)、求经过点 $A$ ，且与直线 $l$ 平行的直线方程；

(2)、求经过点 $A$ ，且倾斜角为直线 $l$ 的倾斜角的 $2$ 倍的直线方程.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是公比为正数的等比数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} + a_{3} = 12$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{n (1 + {log}_{2} a_{n})}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、若底面 $A B C$ 为正三角形， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，侧面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $cos ∠ A_{1} A C = \frac{2}{3}$ ，求四棱锥 $B_{1} - A_{1} A C C_{1}$ 的体积.

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20. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a cos A$ 、 $b cos B$ 、 $a cos C$ 成等差数列.

(1)、求 $B$ 角的大小；

(2)、若 $a + c = 5$ ， $b = \sqrt{7}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B / / C D$ ， $C D = 2 B C = λ A B$ .

(1)、若 $λ = 4$ ，求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $λ = 2$ ，且 $P A = A B$ ， $\vec{P E} = 2 \vec{E B}$ ，求直线 $D E$ 和平面 $A B C D$ 所成角的正切值.

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22. 平面内动点 $P$ 到两定点 $A$ ， $B$ 距离之比为常数 $λ (λ > 0 ， λ \neq 1)$ ，则动点 $P$ 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.现已知定点 $A (0 ， 0)$ 、 $B (- 6 ， 0)$ ，圆心为 $C$ ，

(1)、求满足上述定义的圆 $C$ 的方程，并指出圆心 $C$ 的坐标和半径；

(2)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，且经过点 $Q (4 ， 2)$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，当 $Δ C M N$ 的面积最大时，求直线 $l$ 的方程.

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