广西百色市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 将一个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（）

A、一个圆台 B、两个圆锥 C、一个圆柱 D、一个圆锥

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2. 已知直线 $l$ 经过两点 $P (1 ， 2) ， Q (- 2 ， 1)$ ，那么直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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3. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式关系中，不能成立的是 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ C、 $a^{\frac{1}{3}} < b^{\frac{1}{3}}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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4. 已知直线 $l$ 经过点 $P (- 2 ， 1)$ ，且斜率为 $- \frac{3}{4}$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x + 4 y + 2 = 0$ B、 $3 x - 4 y - 2 = 0$ C、 $4 x + 3 y + 2 = 0$ D、 $4 x - 3 y - 2 = 0$

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 a_{8} = 6 + a_{10}$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、 $27$ B、 $36$ C、 $45$ D、 $66$

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6. 以两点 $A (- 3 ， - 1)$ 和 $B (5 ， 5)$ 为直径端点的圆的方程是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 100$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 100$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B$ 所对的边长分别为 $a ， b$ ，其中 $b > a$ 且 $2 a sin (A + B) = \sqrt{3} c$ ，则角 $A$ 等于（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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8. 不等式 $x^{2} - a x - b \leq 0$ 的解集为 ${x | 2 \leq x \leq 3}$ ，则 $a ， b$ 的值为（）

A、 $a = 2 ， b = 3$ B、 $a = - 2 ， b = 3$ C、 $a = 5 ， b = - 6$ D、 $a = - 5 ， b = 6$

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9. 正方体 $A B C D$ - $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 已知空间中点 $A (x ， 1 ， 2)$ 和点 $B (2 ， 3 ， 4)$ ，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则实数 $x$ 的值是（）

A、 $4$ 或 $0$ B、 $4$ C、 $3$ 或 $- 4$ D、 $- 3$ 或 $4$

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11. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x + y - 3 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、 $1$ B、 $5$ C、 $3$ D、 $4$

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12. 一个直三棱柱的三视图如图1所示，其俯视图是一个顶角为 $\frac{2 π}{3}$ 的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）

A、 $\frac{20 \sqrt{5} π}{3}$ B、 $20 π$ C、 $25 π$ D、 $25 \sqrt{5} π$

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二、填空题

13. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + 2 b = 4$ ，那么 $a b$ 的最大值等于．

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 3 ， S_{12} - S_{8} = 12$ ，则 $S_{8} =$ ．

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15. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$ 的圆心到直线 $x - a y + 1 = 0$ 的距离为 $2$ ，则 $a =$ ．

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16. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子原高一丈( $1$ 丈 $= 10$ 尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为尺．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $cos B = \frac{1}{2 cos B + 1}$ .

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、求 $b = \sqrt{7} ， a + c = 5$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{2} = 2 ， S_{4} = - 20$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式和前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、是否存在 $n$ ，使 $S_{n} ， S_{n + 2} + 2 n ， S_{n + 3}$ 成等差数列，若存在，求出 $n$ ，若不存在，说明理由.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = B B_{1} ， ∠ B A C = ∠ B C A = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ，点 $E$ 是 $A_{1} B$ 与 $A B_{1}$ 的交点， $D$ 为 $A C$ 中点.

(1)、求证： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 + S_{n}$ ( $n \in N^{*}$ ).

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 1 + {log}_{2} {(a_{n})}^{2}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，已知以点 $A (- 1 ， 2)$ 为圆心的圆与直线 $l_{1} ： x + 2 y + 7 = 0$ 相切，过点 $B (- 2 ， 0)$ 的动直线 $l$ 与圆 $A$ 相交于 $M ， N$ 两点， $Q$ 是 $M N$ 的中点．

(1)、求圆 $A$ 的方程；

(2)、当 $| M N | = 2 \sqrt{19}$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
某县一中计划把一块边长为 $20$ 米的等边 $Δ A B C$ 的边角地开辟为植物新品种实验基地，图4中 $D E$ 需要把基地分成面积相等的两部分， $D$ 在 $A B$ 上， $E$ 在 $A C$ 上.

(1)、设 $A D = x (x \geq 10) ， E D = y$ ，使用 $x$ 表示 $y$ 的函数关系式；

(2)、如果 $E D$ 是灌溉输水管道的位置，为了节约， $E D$ 的位置应该在哪里？求出最小值.

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