广东省珠海市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列函数是奇函数的为（）

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = | tan x |$ C、 $y = cos x$ D、 $y = sin x$

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2. 平面向量 $\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} =$ （）

A、 $\overset{⇀}{B A}$ B、 $\overset{⇀}{B C}$ C、 $\overset{⇀}{C B}$ D、 $\overset{⇀}{A B}$

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3. 把形状、质量、颜色等完全相同，标号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球放入一个不透明的袋子中，从中任意抽取一个小球，记下号码为 $x$ ，把第一次抽取的小球放回去之后再从中抽取一个小球，记下号码为 $y$ ，设“乘积 $x y = 6$ ”为事件 $A$ ，则 $P (A) =$ （）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 2) ， \overset{⇀}{b} = (x ， - 3)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ∥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、6

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5. 奥地利遗传学家孟德尔1856年用豌豆作实验时，他选择了两种性状不同的豌豆，一种是子叶颜色为黄色，种子性状为圆形，茎的高度为长茎，另一种是子叶颜色为绿色，种子性状为皱皮，茎的高度为短茎。我们把纯黄色的豌豆种子的两个特征记作 $Y Y$ ，把纯绿色的豌豆的种子的两个特征记作 $y y$ ，实验杂交第一代收获的豌豆记作 $Y y$ ，第二代收获的豌豆出现了三种特征分别为 $Y Y$ ， $Y y$ ， $y y$ ，请问，孟德尔豌豆实验第二代收获的有特征 $Y y$ 的豌豆数量占总收成的（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 程序
$\begin{matrix} I N P U T " \begin{matrix} p l e a s e & i n p u t \begin{matrix} a n & int e g e r \end{matrix} \end{matrix} " x \\ I F \begin{matrix} x > 9 & a n d \begin{matrix} x < 100 & T H E N \end{matrix} \end{matrix} \\ a = x / 10 \\ b = x M O D 10 \\ x = 10 * b + a \\ P R I N T x \\ \begin{matrix} E N D & I F \end{matrix} \\ E N D \end{matrix}$
读上面的程序回答：若先后输入两个数53、125，则输出的结果是（）

A、53 125 B、35 521 C、53 D、35

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7. 已知 $Δ A B C$ 和点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{M A} + \overset{⇀}{M B} + \overset{⇀}{M C} = \overset{⇀}{0}$ ，若存在实数 $m$ 使 $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} = m \overset{⇀}{A M}$ 成立，则 $m =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的平均气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的平均气温的标准差，
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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9. 已知矩形 $A B C D$ 中， $| \overset{⇀}{A B} | = 4 ， | \overset{⇀}{A D} | = 3 ， \overset{⇀}{D M} = \frac{1}{4} \overset{⇀}{D C} ， \overset{⇀}{B N} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{N C}$ ，则 $cos ∠ M A N$ 的值是为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{170}}{170}$ B、 $\frac{11 \sqrt{170}}{170}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{65}}{65}$

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10. 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
温度℃
-5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
根据上表数据确定的线性回归方程应该是（）

A、 $\hat{y} = - 2.352 x + 147.767$ B、 $\hat{y} = - 2.352 x + 127.765$ C、 $\hat{y} = 2.352 x + 75.501$ D、 $\hat{y} = 2.352 x + 63.674$

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11. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积 $= \frac{1}{2} (弦 \times 矢 + 矢^{2})$ ，弧田（如图所示）由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）（）

A、16平方米 B、18平方米 C、20平方米 D、24平方米

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12. 下边的程序框图是用“二分法”求方程 $x^{2} - 2 = 0$ 的近似解的算法，有下列判断：
①若 $a = - 1 ， b = 3 ， d = 0.01$ 则输出的值在 $[\frac{21}{16} ， \frac{22}{16}]$ 之间；
②若 $a = 1 ， b = 1.2 ， d = 0.01$ 则程序执行完毕将没有值输出；
③若 $a = 0 ， b = 2 ， d = 0.01$ 则程序框图最下面的判断框刚好执行8次程序就结束.
其中正确命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. $sin 480 ° =$ ．

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14. 11109与130663的最大公约数为．

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15. 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，需抽出的男运动员的人数为．

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16. 五进制数 $31_{(5)}$ 转化为二进制数结果为．

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17. 向量 $\overset{⇀}{a} = (- 3 ， 4)$ 在向量 $\overset{⇀}{b} = (- 1 ， - 2)$ 方向上的投影为．

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18. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 $30 %$ ，某同学用随机模拟的方法确定这三天中恰有两天下雨的概率，该同学利用计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数，他用1，4，7表示下雨，用0，2，3，5，6，8，9表示不下雨。实验得出如下20组随机数：
245，368，590，126，217，895，560，061，378，902
542，751，245，602，156，035，682，148，357，438
请根据该同学实验的数据确定这三天中恰有两天下雨的概率为．

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19. 父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间。求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为．

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20. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{matrix} s i n \frac{π x}{4} ， 0 \leq x \leq 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{x - 2} ， x > 2 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + a f (x) + b = 0$ 恰好有6个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

21. 已知 $O$ 是坐标原点，向量 $\overset{⇀}{O A} = (- 1 ， \sqrt{3}) ， \overset{⇀}{O B} = (a ， - \sqrt{3})$ ，且 $\overset{⇀}{O A} ⊥ \overset{⇀}{O B}$

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $Δ O A B$ 的面积.

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22. 为了了解某城市居民用水量的情况，我们获得100位居民某年的月均用水量（单位：吨）通过对数据的处理，我们获得了该100位居民月均用水量的频率分布表，并绘制了频率分布直方图（部分数据隐藏）

100位居民月均用水量的频率分布表

组号	分组	频数	频率
1	$[0 ， 0.5)$	4	0.04
2	$[0.5 ， 1)$		0.08
3	$[1 ， 1.5)$	15
4	$[1.5 ， 2)$	22
5	$[2 ， 2.5)$	$x$
6	$[2.5 ， 3)$	14	0.14
7	$[3 ， 3.5)$	6	$y$
8	$[3.5 ， 4)$	4	0.04
9	$[4 ， 4.5]$		0.02
合计		100

(1)、确定表中

x

与

y

的值；

(2)、求频率分布直方图中左数第4个矩形的高度；

(3)、在频率分布直方图中画出频率分布折线图；

(4)、我们想得到总体密度曲线，请回答我们应该怎么做？

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23. 已知第二象限的角 $α$ ，并且 $sin α = \frac{3}{5}$ .

(1)、化简式子 $\frac{sin (π + α) cos (α - π)}{cos (\frac{π}{2} - α)}$ 并求值；

(2)、若 $sin (\frac{2 π}{9} - α) = a$ ，请判断实数 $a$ 的符号，计算 $cos (\frac{4 π}{9} + α)$ 的值.（用字母表示即可）

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24. 设函数 $f (x) = 4 cos x sin (x + \frac{π}{6}) - 1$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间及对称中心；

(3)、函数 $y = f (x)$ 可以由 $y = cos x$ 经过怎样的变换得到.

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25. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$ （单位：万元）对年销售量 $y$ （单位：吨）的影响，对近六年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}$ ( $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ )的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份（ $n$ ）
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年宣传费 $x$ （万元）
23
25
27
29
32
35
年销售量 $y$ （吨）
11
21
24
66
115
325

(1)、根据散点图判断 $y = b x + a$ 与 $ln y = c x + d$ ，哪一个更适合作为年销售量 $y$ （吨）与关于宣传费 $x$ （万元）的回归方程类型；

(2)、规定当产品的年销售量 $y$ （吨）与年宣传费 $x$ （万元）的比值大于1时，认为该年效益良好，现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为 $X$ ，试求 $X$ 的所有取值情况及对应的概率；

(3)、根据频率分布直方图中求出样本数据平均数的思想方法，求 $X$ 的平均数.

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温度℃	-5	0	4	7	12	15	19	23	27	31	36
热饮杯数	156	150	132	128	130	116	104	89	93	76	54

年份（ $n$ ）	2012	2013	2014	2015	2016	2017
年宣传费 $x$ （万元）	23	25	27	29	32	35
年销售量 $y$ （吨）	11	21	24	66	115	325