广东省汕头市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 2 ， x \in R}$ ，集合 $B$ 为函数 $y = lg (x - 1)$ 的定义域，则 $A \cap^{} B$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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2. 已知 $a = {log}_{0.5}^{2}$ ， $b = 2^{0.5}$ ， $c = {0.5}^{2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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3. 一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（）

A、 $15 ， 24 ， 15 ， 19$ B、 $9 ， 12 ， 12 ， 7$ C、 $8 ， 15 ， 12 ， 5$ D、 $8 ， 16 ， 10 ， 6$

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4. 已知某程序框图如图所示，若输入实数 $x$ 为 $3$ ，则输出的实数 $x$ 为（）

A、 $15$ B、 $31$ C、 $42$ D、 $63$

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5. 为了得到函数 $y = 4 sin (2 x + \frac{π}{5})$ ， $x \in R$ 的图像，只需把函数 $y = 2 sin (x + \frac{π}{5})$ ， $x \in R$ 的图像上所有的点（）

A、横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍． B、纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，横坐标伸长到原来的 $2$ 倍． C、纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍． D、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍．

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6. 函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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7. 下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（）

A、 $\frac{32}{7}$ B、 $5$ C、 $\frac{30}{7}$ D、 $4$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} x - 2 {sin}^{2} x + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最正周期为 $2 π$ ，最大值为 $3$ ． B、 $f (x)$ 的最正周期为 $2 π$ ，最大值为 $1$ ． C、 $f (x)$ 的最正周期为 $π$ ，最大值为 $3$ ． D、 $f (x)$ 的最正周期为 $π$ ，最大值为 $1$ ．

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9. 平面向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $\overset{⇀}{a} = (3 ， 0)$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{37}$ C、 $7$ D、 $3$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} {log}_{2} (- x) ， x < 0 \\ f (x - 5) ， x \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (2018)$ 等于（）

A、 $- 1$ B、 $2$ C、 $f (x)$ D、 $1$

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11. 设点 $E$ 、 $F$ 分别为直角 $Δ A B C$ 的斜边 $B C$ 上的三等分点，已知 $A B = 3$ ， $A C = 6$ ，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A F}$ （）

A、 $10$ B、 $9$ C、 $8$ D、 $7$

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12. 气象学院用 $32$ 万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第 $n$ 天的维修保养费为 $4 n + 46 (n \in N^{*})$ 元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（）

A、 $300$ 天 B、 $400$ 天 C、 $600$ 天 D、 $800$ 天

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二、填空题

13. 已知 $θ$ 为锐角且 $tan θ = \frac{4}{3}$ ，则 $sin (θ - \frac{π}{2}) =$ ．

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14. $A$ 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点 $B$ ，连接 $A$ 、 $B$ 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为．

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15. 若变量 $x$ ， $y$ 满足 $f (x) = {\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} 2 x + y \leq 4 \\ x + 2 y \leq 5 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值是．

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16. 关于 $x$ 的不等式 $x > a x^{2} + \frac{3}{2}$ （ $a$ 为实数）的解集为 $(2 ， \sqrt{b})$ ，则乘积 $a b$ 的值为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ $C$ ，所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 5$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $cos B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、求 $sin C$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $P$ 在 $B C$ 边上， $A C > A P$ ， $∠ P A C = 60 °$ ， $P C = 2 \sqrt{7}$ ， $A P + A C = 10$ ．

(1)、求 $sin ∠ A C P$ 的值；

(2)、若 $Δ A P B$ 的面积是 $9 \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 的长．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 3$ ，公差 $d > 0$ ．且 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{5}$ 分别是等比数列 ${b_{n}}$ 的第 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} a_{2} (n = 1) \\ a_{n} \cdot b_{n} (n \geq 2) \end{matrix}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{2018}$ 的值（结果保留指数形式）．

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21. 为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡的株数：
温度 $x$ (单位：℃)
21
23
24
27
29
32
死亡数 $y$ (单位：株)
6
11
20
27
57
77
经计算： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 5705$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 4140$ ， $\sum_{i = 1}^{6} y_{i}^{2} = 10464$ ， $\frac{1}{\sqrt{330120}} \approx 0.00174$ .
其中 $x_{i} ， y_{i}$ 分别为试验数据中的温度和死亡株数， $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ ．

(1)、 $y$ 与 $x$ 是否有较强的线性相关性? 请计算相关系数 $r$ (精确到 $0.01$ )说明.

(2)、并求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ( $\hat{b}$ 和 $\hat{a}$ 都精确到 $0.01$ )；

(3)、用(2)中的线性回归模型预测温度为 $35^{\circ} C$ 时该批紫甘薯死亡株数(结果取整数)．
附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ，……， $(u_{n} ， v_{n})$ ，
①线性相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}}$ ，通常情况下当 $| r |$ 大于0.8时，认为两
个变量有很强的线性相关性．
②其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
$\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ；

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22. 已知函数 $f (x) = lg (\frac{2}{x - 1} + a)$ ， $a \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 是奇函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、在在（1）的条件下，判断函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = lg (2^{x})$ 的图像公共点个数，并说明理由；

(3)、当 $x \in [1 ， 2)$ 时，函数 $y = f (2^{x})$ 的图象始终在函数 $y = lg (4 - 2^{x})$ 的图象上方，求实数 $a$ 的取值范围．

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温度 $x$ (单位：℃)	21	23	24	27	29	32
死亡数 $y$ (单位：株)	6	11	20	27	57	77