福建省三明市2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 已知圆 $x^{2} + y^{2} + a x + 6 y = 0$ 的圆心在直线 $x - y - 1 = 0$ 上，则 $a$ 的值为（）

A、4 B、5 C、7 D、8

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3. 数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，若 $a_{3} = 3$ ， $a_{4} = - 6$ ，则 $a_{6}$ 为（）

A、-24 B、12 C、18 D、24

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4. 直线 $2 x + y + 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 的位置关系为（）

A、相离 B、相切 C、相交且过圆心 D、相交且不过圆心

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5. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，若点 $A (1 ， 2 ， 1)$ ， $B (- 3 ， - 1 ， 4)$ ，点 $C$ 是点 $A$ 关于 $x O y$ 平面的对称点，则 $| B C | =$ （）

A、 $\sqrt{22}$ B、 $\sqrt{26}$ C、 $\sqrt{42}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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6. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{2} + a_{40} = 680$ ，则 $a_{22} =$ （）

A、338 B、340 C、342 D、344

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7. 已知 $m ， n$ 为两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，则下列各项中正确的是（）

A、若 $m ∥ α ， m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m ∥ α ， n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ C、若 $m ⊥ α ， m ⊥ n$ ，则 $n ∥ α$ D、若 $m ， n \subset α$ ，且 $m ∥ β ， n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$

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8. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.现有一块“堑堵”形石材的三视图如图所示，则这块“堑堵”形石材的体积为（）

A、576 B、288 C、144 D、96

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9. 已知直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（）

A、 $| a | < | b |$ B、 $\sqrt{- a} > \sqrt{b}$ C、 $(b - a) (b + a) > 0$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 如图，为了估测某塔的高度，在塔底 $D$ 和 $A ， B$ （与塔底 $D$ 同一水平面）处进行测量，在点 $A ， B$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角分别为45°，30°，且 $A ， B$ 两点相距 $140 m$ ，由点 $D$ 看 $A ， B$ 的张角为150°，则塔的高度 $C D =$ （）

A、 $140 \sqrt{3} m$ B、 $20 \sqrt{21} m$ C、 $20 \sqrt{7} m$ D、 $140 m$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为-2，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若 $S_{n} \leq S_{m}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $m =$ （）

A、7 B、6 C、5 D、4

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12. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x + 2 y \leq 7 ， \\ x - y \leq 0 ， \\ x \geq 1 ， \end{matrix}$ 且不等式 $16 a x^{2} - x y + a y^{2} \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{25} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{8} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{17} ， \frac{3}{25}]$ D、 $[\frac{1}{17} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $m$ 是2和4的等差中项，则 $m =$ ．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a ： b ： c = 4 ： 5 ： 7$ ，则最大角的余弦值为．

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15. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角为．

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16. 我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系 $O - x y z$ 的坐标平面 $x O y$ 内，若函数 $f (x) = {\begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} \sqrt{4 - x^{2}} ， x \in [- 2 ， 0) ， \\ - \frac{2}{3 π} x + 2 ， x \in [0 ， + \infty) \end{matrix}$ 的图象与 $x$ 轴围成一个封闭区域 $A$ ，将区域 $A$ 沿 $z$ 轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一.现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域 $A$ 面积相等，则此圆柱的体积为．

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： x + 2 y - 3 = 0$ 与 $l_{2} ： m x + y + 11 = 0 (m \in R)$ .

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标；

(2)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a sin B = \sqrt{3} b sin A cos C$ .

(1)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，求角 $A$ ；

(2)、若 $c = 8 - \sqrt{3}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{6}$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq a^{2}$ 解集为 $(- \infty ， x_{1}] \cup^{} [x_{2} ， + \infty) (x_{1} < x_{2})$ ，且不等式 $a x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) - m x_{1} x_{2} + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 90 °$ ， $tan ∠ P A D = 2$ .

(1)、证明：直线 $B C ∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为8，求三棱锥 $P - A C D$ 的内切球的表面积.

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21. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且点 $(a_{n} ， S_{n}) (n \in N^{*})$ 在直线 $3 x - 2 y - 2 = 0$ 上.

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = {log}_{3} (S_{n} + 1)$ ，求数列 ${b_{n} \cdot x^{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知圆 $M$ 过点 $P (\sqrt{5} ， 3)$ ，且与圆 $N ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 关于直线 $l_{0} ： x + y - 2 = 0$ 对称.

(1)、求两圆的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{0}$ 平行，且截距为7，在 $l_{1}$ 上取一横坐标为 $a$ 的点 $A$ ，过点 $A$ 作圆 $M$ 的切线，切点为 $B ， C$ ，设 $B ， C$ 中点为 $Q$ .
（ⅰ）若 $| A Q | = \frac{1}{2} | B C |$ ，求 $a$ 的值；
（ⅱ）是否存在点 $A$ ，使得 $| B C | = 2 \sqrt{3}$ ？若存在，求点 $A$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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