安徽省安庆市20017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-09-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $a ， b ， c$ 满足 $c < b < a$ ，且 $a c < 0$ ，那么下列选项中一定成立的是（）

A、 $a b > a c$ B、 $c (b - a) < 0$ C、 $c b^{2} < a b^{2}$ D、 $a c (a - c) > 0$

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2. 在△ $A B C$ 中， $A = 60 ° ， B = 75 ° ， a = 10$ ，则 $c$ 等于（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $10 \sqrt{2}$ C、 $\frac{10 \sqrt{6}}{3}$ D、 $5 \sqrt{6}$

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3. 下列命题正确的个数为（）
①梯形一定是平面图形；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{n} = 1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则 $a_{5}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 已知圆锥的表面积等于 $12 π c m^{2}$ ，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（）

A、 $1 c m$ B、 $2 c m$ C、 $3 c m$ D、 $\frac{3}{2} c m$

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6. 设数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 12$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7}$ 等于（）

A、14 B、21 C、28 D、35

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7. 下列说法正确的是（）

A、相等的角在直观图中仍然相等 B、相等的线段在直观图中仍然相等 C、正方形的直观图是正方形 D、若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

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8. 在△ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $\frac{c}{b} < cos A$ ，则△ $A B C$ 为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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9. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x + y - 7 \leq 0 ， \\ x - 3 y + 1 \leq 0 ， \\ 3 x - y - 5 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、10 B、8 C、3 D、2

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10. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）

A、192 里 B、96 里 C、48 里 D、24 里

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11. 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = C D = 2 ， B D = 2 \sqrt{2} ， B D ⊥ C D$ ，将其沿对角线 $B D$ 对角折成四面体 $A B C D$ ，使平面 $A B D$ ⊥平面 $B C D$ ，若四面体 $A B C D$ 的顶点在同一球面上，则该求的体积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $12 π$ C、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $8 π$

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二、填空题

13. 直线 $l ： a x + y - 2 - a = 0$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距相等，则实数 $a$ =.

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14. 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为.

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15. 若一元二次不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则 $k$ 的取值范围为.

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16. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两条直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是.（填命题的序号）

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三、解答题

17. 在△ $A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .若 $c^{2} = {(a - b)}^{2} + 6 ， C = \frac{π}{3}$ ，求△ $A B C$ 的面积.

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18. 根据所给的条件求直线的方程：

(1)、直线过点（-4，0），倾斜角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ；

(2)、直线过点（5，10），到原点的距离为5.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D$ ⊥平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $B C = P D = 2 ， E$ 为 $P C$ 的中点， $C B = 3 C G$ .

(1)、求证： $P C ⊥ B C$ ；

(2)、 $A D$ 边上是否存在一点 $M$ ，使得 $P A$ //平面 $M E G$ ？若存在，求 $A M$ 的长，若不存在，请说明理由.

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20. 如图，△ $A B C$ 内接于圆 $O$ ， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，四边形 $D C B E$ 为平行四边形， $D C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 2 ， E B = \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $D E$ ⊥平面 $A D C$ ；

(2)、设 $A C = x$ ， $V (x)$ 表示三棱锥 $B - A C E$ 的体积，求函数 $V (x)$ 的解析式及最大值.

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21. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产 $x$ 千件，需另投入成本为 $C (x)$ ，当年产量不足80千件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 10 x$ （万元）.当年产量不小于80千件时 $C (x) = \frac{10000}{x} - 1450$ （万元）.每件商品售价为0.05万元.通过分析，该工厂生产的商品能全部售完.

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - \frac{1}{2} n^{2} + k n$ （其中 $k \in N^{*}$ ），且 $S_{n}$ 的最大值为8.

(1)、确定常数 $k$ ，并求 $a_{n}$ ；

(2)、设数列 ${\frac{9 - 2 a_{n}}{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 4$ .

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