2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高三上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-02-23 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（　　）

A、[0，2] B、[1，2] C、[0，4] D、[1，4]

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2. 已知f（x）=sin（x+φ）（φ∈R），则“φ= $\frac{π}{2}$ ”是“f（x）是偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°， $\vec{a}$ =（2，0），| $\vec{b}$ |=1，则| $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ |=（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、4 D、12

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4. 已知函数y=f（x）的图像是由函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到的，则 $f (\frac{π}{3})$ =（）

A、- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、- $\frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]时f（x）=1+log₂x．若对任意的x∈R都有f（x）=f（x+4），则f（2014）+f（2016）﹣2f（2015）=（）

A、﹣2 B、﹣1 C、1 D、2

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6. 设x，y满足条件 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ 3 x - y - 6 \leq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则 $\frac{3}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{25}{6}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、4

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7. 方程（x²+y²﹣2x） $\sqrt{x + y - 3}$ =0表示的曲线是（）

A、一个圆和一条直线 B、一个圆和一条射线 C、一个圆 D、一条直线

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8. 如图，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ， |F₁F₂|=4，P是双曲线右支上的一点，F₂P与y轴交于点A，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

9. i是虚数单位，计算 $\frac{1 - 2 i}{2 + i}$ 的结果为

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10. 抛物线y²=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ，准线方程为．

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11. （2x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁴ 的展开式中的常数项为，系数和为．

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12. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} ， x \geq 0 \\ | e^{x} - 2 | ， x < 0 \end{matrix}$ 则f（﹣1）= ，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为

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13. 设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=﹣1， $\frac{a_{n + 1}}{S_{n + 1}}$ =S_n ，求数列{a_n}的前n项和S_n= ，通项公式a_n= ．

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14. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有个．

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15. 已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则 $\frac{2}{x + 3 y} + \frac{1}{x - y}$ 的最小值是

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三、解答题

16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC

(1)、求角C大小；

(2)、求 $\sqrt{3}$ sinA﹣cos（B+ $\frac{π}{4}$ ）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

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17. 已知函数f（x）=x³﹣3ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线斜率为2，求实数a；
（Ⅱ）若a=1，求函数f（x）在区间[0，3]的最值及所对应的x的值．

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18. 已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n₊₁= $\frac{a_{n}}{a_{n} + 3}$ （n∈N^*）．

(1)、求证：{ $\frac{1}{a_{n}}$ + $\frac{1}{2}$ }是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；

(2)、数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ﹣1）• $\frac{n}{2^{n}}$ •a_n ，数列{b_n}的前n项和为T_n ，若不等式（﹣1）ⁿλ＜T_n+ $\frac{n}{2^{n - 1}}$ 对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为 $\sqrt{3}$ ﹣1，短轴长为2 $\sqrt{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若△OAB（O为直角坐标原点）的面积为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，求直线AB的方程．

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20. 已知函数f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．

(1)、当t=2时，求函数f（x）的单调性；

(2)、试讨论函数f（x）的单调区间；

(3)、若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．

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