2016-2017学年浙江省杭州地区四校联考高三上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-02-23 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设集合A={x|4x﹣1|＜9，x∈R}，B={x| $\frac{x}{x + 3}$ ≥0，x∈R}，则（∁_RA）∩B=（）

A、（﹣∞，﹣3）∪[ $\frac{5}{2}$ ，+∞） B、（﹣3，﹣2]∪[0， $\frac{5}{2}$ ） C、（﹣∞，﹣3]∪[ $\frac{5}{2}$ ，+∞） D、（﹣3，﹣2]

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2. i是虚数单位，则复数 $\frac{5 i}{2 - i}$ 的虚部为（）

A、2i B、﹣2 C、2 D、﹣2i

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3. 已知直线 l₁：ax+（a+2）y+1=0，l₂：x+ay+2=0，则“l₁∥l₂”是“a=﹣1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知﹣ $\frac{π}{2}$ ＜α＜0，sinα+cosα= $\frac{1}{5}$ ，则 $\frac{1}{\cos^{2} α - \sin^{2} α}$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{25}{7}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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5. 已知实数x，y满足： ${\begin{matrix} 2 x + y - 2 \leq 0 \\ 3 x - 2 y + 4 \geq 0 \\ x - 3 y - 1 \leq 0 \end{matrix}$ ，则3^x+9^y的最小值为（）

A、82 B、4 C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 设点P为有公共焦点F₁ ， F₂的椭圆和双曲线的一个交点，且cos∠F₁PF₂= $\frac{3}{5}$ ，椭圆的离心率为e₁ ，双曲线的离心率为e₂ ，若e₂=2e₁ ，则e₁=（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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7. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，满足| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |= $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =3，若（ $\vec{c}$ ﹣2 $\vec{a}$ ）•（ $\vec{c}$ ﹣ $\frac{2}{3}$ $\vec{b}$ ）=0，则| $\vec{b} - \vec{c}$ |的最小值是（）

A、2﹣ $\sqrt{3}$ B、2+ $\sqrt{3}$ C、1 D、2

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8. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | \log_{5} (1 - x) | ， x < 1 \\ - {(x - 2)}^{2} + 2 ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则方程f（x+ $\frac{1}{x}$ ﹣2）=a的实根个数不可能为（）

A、8个 B、7个 C、6个 D、5个

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二、填空题

9. 若（x²+ $\frac{1}{x}$ ）ⁿ的二项展开式中，所以二项式系数之和为64，则n=；该展开式中的常数项为（用数字作答）．

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10. 已知等比数列{a_n}的公比q＞0，前n项和为S_n ，若2a₃ ， a₅ ， 3a₄成等差数列，a₂a₄a₆=64，则a_n= ， S_n= ．

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11. 函数y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线 $\frac{x}{m} + \frac{y}{n}$ ﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ =；m+n的最小值为．

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12. 已知曲线C₁：（x﹣1）²+y²=1与曲线C₂：y（y﹣mx﹣m）=0，则曲线C₂恒过定点；若曲线C₁与曲线C₂有4个不同的交点，则实数m的取值范围是

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13. 袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）= ．

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14. 函数f（x）= $\sqrt{4 - 2 x}$ + $\sqrt{x}$ 的值域为．

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15. 记max{a，b}= ${\begin{matrix} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{matrix}$ ，设M=max{|x﹣y²+4|，|2y²﹣x+8|}，若对一切实数x，y，M≥m²﹣2m都成立，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2A+ $\frac{3}{2}$ =2cosA．

(1)、求角A的大小；

(2)、若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

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17. 已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别满足a，b，c，
（Ⅰ）若3 $\vec{O A}$ +4 $\vec{O B}$ +5 $\vec{O C}$ = $\vec{0}$ ，求cos∠BOC的值；
（Ⅱ）若 $\vec{C O}$ • $\vec{A B}$ = $\vec{B O}$ • $\vec{C A}$ ，求 $\frac{b^{2} + c^{2}}{a^{2}}$ 的值．

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18. 已知数列{a_n}的各项均为正数，满足a₁=1，a_k₊₁﹣a_k=a_i ．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）

(1)、求证： $a_{k + 1} - a_{k} \geq 1 (k = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n - 1)$ ；

(2)、若{a_n}是等比数列，求数列{a_n}的通项公式；

(3)、设数列{a_n}的前n项和为S_n ，求证： $\frac{1}{2} n (n + 1) \leq S_{n} \leq 2^{n} - 1$ ．

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ +y²=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．

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20. 已知函数f（x）=aln（x+1）+ $\frac{1}{2}$ x²﹣x，其中a为非零实数．

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、若y=f（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，求证： $\frac{f (x_{2})}{x_{1}}$ ＜ $\frac{1}{2}$ ．

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