2016-2017学年浙江省湖州市高二上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-02-23 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设P是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16}$ =1上的点，若F₁ ， F₂是椭圆的两个焦点，则|PF₁|+|PF₂|等于（）

A、4 B、5 C、8 D、10

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2. 已知向量 $\vec{a} = (0 ， 2 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 1 ， - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、0° B、45° C、90° D、180°

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3. 圆 C₁：（x+2）²+（y﹣2）²=4和圆C₂：（x﹣2）²+（y﹣5）²=16的位置关系是（）

A、外离 B、相交 C、内切 D、外切

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4. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，BC中点，则异面直线EF与AB₁所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 在平面直角坐标系中，“点M的坐标满足方程4 $\sqrt{x}$ +y=0”是“点M在曲线y²=16x上”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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6. 若直线y=x+b与曲线y=3﹣ $\sqrt{4 x - x^{2}}$ 有公共点，则b的取值范围是（）

A、[1﹣ $\sqrt{2}$ ，1+ $\sqrt{2}$ ] B、[1﹣ $\sqrt{2}$ ，3] C、[1﹣2 $\sqrt{2}$ ，3] D、[﹣1，1+ $\sqrt{2}$ ]

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7. 在平面直角坐标系中，方程 $\frac{| x + y |}{2}$ +|x﹣y|=1所表示的曲线为（）

A、三角形 B、正方形 C、非正方形的长方形 D、非正方形的菱形

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8. 已知F₁ ， F₂分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的左、右焦点，若存在过F₁的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF₂=∠BF₂F₁ ，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）

A、（3，+∞） B、（1，2+ $\sqrt{5}$ ） C、（3，2+ $\sqrt{5}$ ） D、（1，3）

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二、填空题

9. 已知向量 $\vec{a}$ =（2，4，x）， $\vec{b}$ =（2，y，2），若| $\vec{a}$ |=6，则x=；若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则x+y= ．

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10. 已知圆M：x²+y²+4x﹣2y+3=0，直线l过点P（﹣3，0），圆M的圆心坐标是；若直线l与圆M相切，则切线在y轴上的截距是

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11. 已知抛物线x²=4y的焦点F的坐标为，若M是抛物线上一点，|MF|=4，O为坐标原点，则∠MFO= ．

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12. 过点（1，3）且渐近线为y=± $\frac{1}{2}$ x的双曲线方程是，其实轴长是

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13. 在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x²+（y﹣1）²=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为．

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14. 已知斜率为1的直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为K₁ ， K₂ ，则K₁+K₂的取值范围是

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15. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的点），且满足|PB|+|PD₁|=2，则点P的个数为

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三、解答题

16. 已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax²+bx+c=0没有实根”，它的否命题为Q．
（Ⅰ）写出命题Q；
（Ⅱ）判断命题Q的真假，并证明你的结论．

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17. 已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）；求：

(1)、求以向量 $\vec{A B} ， \vec{A C}$ 为一组邻边的平行四边形的面积S；

(2)、若向量a分别与向量 $\vec{A B} ， \vec{A C}$ 垂直，且|a|= $\sqrt{3}$ ，求向量a的坐标．

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18. 已知圆C与x轴相切，圆心C在射线3x﹣y=0（x＞0）上，直线x﹣y=0被圆C截得的弦长为2 $\sqrt{7}$

(1)、求圆C标准方程；

(2)、若点Q在直线l₁：x+y+1=0上，经过点Q直线l₂与圆C相切于p点，求|QP|的最小值．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，E、F分别是PA、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面FBD；
（Ⅱ）若PA=1，在棱PC上是否存在一点M使得二面角E﹣BD﹣M的大小为60°．若存在，求出PM的长，不存在请说明理由．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆E相交于不同的两点A、B，直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列．
（Ⅰ）求a，b，k的关系式；
（Ⅱ）若离心率 $e = \frac{1}{2}$ 且 $e = \frac{1}{2} | A B | = \sqrt{7} | m + \frac{1}{m} |$ ，当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值？

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