2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-02-23 类型：期中考试

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一、选择题

1. 直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）

A、﹣a＞﹣b B、a+c＜b+c C、（﹣a）²＞（﹣b）² D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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3. 设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₁+a₃+a₅=3，则S₅=（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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4. 如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）

A、8cm B、6cm C、 $2 (1 + \sqrt{3}) c m$ D、 $2 (1 + \sqrt{2}) c m$

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5. 设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A、若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α B、若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α C、若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α D、若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

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6. 设一个球的表面积为S₁ ，它的内接正方体的表面积为S₂ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值等于（）

A、 $\frac{2}{π}$ B、 $\frac{6}{π}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB且 $a c = \frac{1}{4} b^{2}$ ．若角B为锐角，则p的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(0, \sqrt{2})$ C、 $(- \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}) (\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2})$

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8. 四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当 $M A = \sqrt{2} P M$ 时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）

A、一个点 B、线段 C、圆 D、圆弧

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二、填空题

9. 已知直线l₁：x+ay﹣4=0与l₂：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l₁⊥l₂ ，则a=

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10. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为

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11. 如下图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D₁E与A₁D所成角的大小是，若D₁E⊥EC，则直线A₁D与平面D₁DE所成的角为

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12. 已知圆C：x²+y²﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为．

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13. 设实数a，b满足约束条件 ${\begin{matrix} a + b - 2 \geq 0 \\ b - a - 1 \leq 0 \\ a \leq 1 \end{matrix}$ ，则 $\frac{b + 2}{a + 2}$ 的取值范围为．

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14. 已知圆C：（x﹣2）²+（y﹣1）²=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则| $\vec{P B}$ |+| $\vec{P Q}$ |的最小值为

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15. 已知关于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集为 ${x | x \neq - \frac{1}{a} ， x \in R}$ ，且a＞b，则 $\frac{a^{2} + b^{2} + 1}{a - b}$ 的最小值是．

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三、解答题

16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C= $\sqrt{3}$ cosC，其中C为锐角．

(1)、求角C的大小；

(2)、a=1，b=4，求边c的长．

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17. 已知数列{a_n}的前项n和为S_n ，且3S_n=4a_n﹣4．又数列{b_n}满足b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n ．

(1)、求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

(2)、若 $T_{n} = \frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \dots + \frac{1}{b_{n}}$ ，求使得不等式 $k \frac{n \cdot a_{n}}{n + 1} \geq (2 n - 3) T_{n}$ 恒成立的实数k的取值范围．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

(1)、证明CD⊥AE；

(2)、证明PD⊥平面ABE；

(3)、求二面角A﹣PD﹣C的正切值．

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19. 已知圆O：x²+y²=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．

(1)、求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；

(2)、若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．

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