浙江省绍兴市上虞区2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若直线的倾斜角是 $60 °$ ，则直线的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{4} + a_{7} + a_{10} = 15$ ，则其前 $13$ 项的和是（）

A、 $45$ B、 $65$ C、 $91$ D、 $195$

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3. 已知 $x > 1$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4. $sin 15^{0} cos 15^{0}$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1$

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5. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ， $\overset{⇀}{A B} =$ $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{B C} =$ $\overset{⇀}{b}$ ，则 $| \frac{\overset{⇀}{a}}{2} + \overset{⇀}{b} |$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，若 $a cos B = b cos A$ ，则 $Δ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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7. 已知 $tan (α + β) = 3$ ， $tan (α - β) = 5$ ，则 $tan 2 β =$ （）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、 $- \frac{4}{7}$

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8. 设点 $G$ 为 $Δ A B C$ 的重心， $\overset{⇀}{B G} \cdot \overset{⇀}{C G} = 0$ ，且 $B C = \sqrt{2}$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值是（）

A、 $2$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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9. 已知等差数列前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{13} < 0$ ， $S_{12} > 0$ ，则此数列中绝对值最小的项为（）

A、第5项 B、第6项 C、第7项 D、第8项

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10. 函数 $y = {log}_{a} (x + 2) - 1$ （ $a > 0 ， a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $A$ ，若点 $A$ 在直线 $m x + n y + 1$ $= 0$ 上，其中 $m > 0 ， n > 0$ ，则 $\frac{4}{m + 1} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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二、填空题

11. ${cos}^{2} \frac{π}{8} - {sin}^{2} \frac{π}{8} =$ .

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x - 1}{x + 1} > 0$ 的解集是 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$ ，则 $a =$ .

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13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + r$ ，则 $a_{2} + r =$ ．

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14. 设整数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + 2 y - 5 > 0 \\ 2 x + y - 7 > 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = 3 x + 4 y$ 的最小值为．

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15. 在 $Δ A B C$ 中，面积 $S = \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，则角 $C$ 的大小为．

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16. 若正数 $x ， y$ 满足 $x y + 2 x + y = 8$ ，则 $x + y$ 的最小值等于．

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17. 在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $\overset{⇀}{B D} = \overset{⇀}{D C}$ ，点列 $P_{n} (n \in N *)$ 在线段 $A C$ 上，且满足 $\overset{⇀}{P_{n} A} = a_{n + 1} \overset{⇀}{P_{n} B} + a_{n} \overset{⇀}{P_{n} D}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} =$ ．

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三、解答题

18. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1 ， 1)$ ．
（Ⅰ）分别求 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ ， $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ 的值；
（Ⅱ）当 $λ$ 为何值时， $\overset{⇀}{a} + λ \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 垂直？

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19. 已知 $α \in （ \frac{π}{2} ， π ）$ ，且 $sin α = \frac{1}{3}$ ．
（Ⅰ）求 $sin 2 α$ 的值；
（Ⅱ）若 $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $sin β$ 的值.

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20. 已知 $Δ A B C$ 的内角分别为 $A ， B ， C$ ，其对应边分别是 $a ， b ， c$ ，且满足
$b cos C + c cos B = 2 a cos B$ ．
（Ⅰ）求角 $B$ 的大小；
（Ⅱ）若 $b = \sqrt{3}$ ，求 $a + 2 c$ 的最大值.

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ，且 $S_{3} + S_{5} = 50$ ， $a_{1} ， a_{4} ， a_{13}$ 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 的首项为1，公比为 $3$ 的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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22. 设 $λ > 0$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = λ$ ， $a_{n} = \frac{λ n a_{n - 1}}{a_{n - 1} + 2 n - 2}$ $(n \geq 2)$ .
（Ⅰ）当 $λ = 2$ 时，求证：数列 ${\frac{n}{a_{n}}}$ 为等差数列并求 $a_{n}$ ；
（Ⅱ）证明：对于一切正整数 $n$ ， $a_{n} \leq \frac{λ^{n + 1}}{2^{n + 1}} + 1$ ．

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