浙江省金华十校2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 2 < 0}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1}$ C、 ${3}$ D、 $\emptyset$

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2. 直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $2 x - 3 y - 1 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $2$ D、 $3$

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3. 函数 $y = 2 {sin}^{2} (x - \frac{π}{4}) - 1$ 是（）

A、最小正周期为 $π$ 的奇函数 B、最小正周期为 $π$ 的偶函数 C、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 D、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的偶函数

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4. 在同一坐标系中，函数 $y = e^{- x}$ 与函数 $y = ln x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{5} = b_{6}$ ，则（）

A、 $a_{3} + a_{7} \leq b_{4} + b_{8}$ B、 $a_{3} + a_{7} \geq b_{4} + b_{8}$ C、 $a_{3} + a_{7} \neq b_{4} + b_{8}$ D、 $a_{3} + a_{7} = b_{4} + b_{8}$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{sin A}{k} = \frac{sin B}{3} = \frac{sin C}{4}$ （ $k$ 为非零实数），则下列结论错误的是（）

A、当 $k = 5$ 时， $Δ A B C$ 是直角三角形 B、当 $k = 3$ 时， $Δ A B C$ 是锐角三角形 C、当 $k = 2$ 时， $Δ A B C$ 是钝角三角形 D、当 $k = 1$ 时， $Δ A B C$ 是钝角三角形

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7. 设实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \\ x \geq - 1 \end{matrix}$ ，则 $z = | x | - y + 1$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 4]$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[0 ， 1]$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} \cdot a_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $a_{2018} = 2^{2018}$ B、 $S_{2018} = 3 \cdot 2^{1009} - 3$ C、数列 ${a_{2 n - 1}}$ 是等差数列 D、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列

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9. 记 $max {x ， y ， z}$ 表示 $x$ ， $y$ ， $z$ 中的最大数，若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $max {a ， b ， \frac{1}{a} + \frac{3}{b}}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $3$

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10. 设 $| A B | = 10$ ，若平面上点 $P$ 满足对任意的 $λ \in R$ ，恒有 $| 2 \overset{⇀}{A P} - λ \overset{⇀}{A B} | \geq 8$ ，则一定正确的是（）

A、 $| \overset{⇀}{P A} | \geq 5$ B、 $| \overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} | \geq 10$ C、 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B} \geq - 9$ D、 $∠ A P B \leq 90 °$

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二、填空题

11. 设函数 $f (x) = lg x$ ，则函数的定义域是，若 $f (2 x) > f (2)$ ，则实数 $x$ 的取值范围是．

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12. 直线 $l$ ： $x + λ y - 2 - 3 λ = 0 (λ \in R)$ 恒过定点，点 $P (1 ， 1)$ 到直线 $l$ 的距离的最大值为．

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13. 已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期是，当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + a b$ ，且 $c = 2$ ，则角 $C =$ ， $S_{Δ A B C}$ 的最大值是．

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15. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为．

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16. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $b_{n} = {(- 1)}^{n} S_{n}$ .则数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n} =$ ．

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17. 若对任意的 $x \in [1 ， 4]$ ，存在实数 $a$ ，使 $| x^{2} + a x + b | \leq 2 x (a \in R ， b > 0)$ 恒成立，则实数 $b$ 的最大值为．

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三、解答题

18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (2 ， 4)$ 是 $⊙ M$ ： $x^{2} + y^{2} - 12 x - 14 y + 60 = 0$ 上一点.

(1)、求过点 $A$ 的 $⊙ M$ 的切线方程；

(2)、设平行于 $O A$ 的直线 $l$ 与 $⊙ M$ 相交于 $B$ ， $C$ 两点，且 $| B C | = 2 | O A |$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知函数 $f (x) = 4 cos x \cdot sin (x - \frac{π}{6}) + a$ 的最大值为 $3$ .

(1)、求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $f (\frac{α}{2}) = \frac{11}{5}$ ，求 $cos α$ 的值.

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20. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = 2 b$ .

(1)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 1$ ，求 $Δ A B C$ 的面积；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积的最大值.

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21. 已知 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = a | x^{2} - 1 | + x^{2} + b x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $b$ 的取值范围；

(2)、当 $a = - 1$ 时，对任意的 $x \in [1 ， + \infty)$ ，都有 $f (x - 2) \geq f (x)$ 恒成立，求 $b$ 的最大值.

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22. 已知各项为正的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n} = λ$ .

(1)、若 $λ = 0$ ，求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的值；

(2)、若 $λ = 3$ ，证明： $3 - {(\frac{1}{2})}^{n - 2} \leq a_{n} < 3$ .

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