福建省龙岩市非一级达标校2017-2018学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若角 $α$ 终边经过点 $(- 2 ， 1)$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (m + 1 ， - m)$ ， $\overset{⇀}{a} ∥ \overset{⇀}{b}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）

A、至少有一次中靶 B、只有一次中靶 C、两次都中靶 D、两次都不中靶

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4. 把28化成二进制数为（）

A、 $11000_{(2)}$ B、 $11100_{(2)}$ C、 $11001_{(2)}$ D、 $10100_{(2)}$

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5. 若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的平均数 $\bar{x} = 3$ ，则数据 $3 x_{1} + 2 ， 3 x_{2} + 2 ， \dots ， 3 x_{n} + 2$ 的平均数为（）

A、3 B、5 C、9 D、11

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7. 在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）

A、127 B、128 C、128.5 D、129

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8. 如图所示， $M$ 是 $Δ A B C$ 边 $A B$ 的中点，若 $\overset{⇀}{C M} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{C A} = \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{C B} =$ （）

A、 $\overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b}$ B、 $\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}$ C、 $2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ D、 $2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$

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9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，与古老的“辗转相除法”实质是一样的.如图的算法语句即表示“辗转相除法”，若输入 $m = 98 ， n = 63$ 时，输出的 $m =$ （）

A、21 B、28 C、7 D、4

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10. 将函数 $y = 3 cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 的图象（）

A、关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 B、关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称

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11. 执行如下程序框图，如果输入的 $x = - \frac{π}{12}$ ，则输出 $y$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{- \sqrt{3} + 1}{2}$

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12. 设当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = 3 sin x + 4 cos x$ 取得最大值，则 $sin θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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二、填空题

13. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2 ， 3)$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ ．

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14. 在区间 $[0 ， 2]$ 中随机地取出一个数 $x$ ，则 $x > sin \frac{π}{6}$ 的概率是．

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15. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式是．

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16. 如图，在同一个平面内，向量 $\overset{⇀}{O A} ， \overset{⇀}{O B} ， \overset{⇀}{O C}$ 的模分别为1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ， $\overset{⇀}{O A}$ 与 $\overset{⇀}{O C}$ 的夹角为 $α$ ，且 $tan α = 7$ ， $\overset{⇀}{O A}$ 与 $\overset{⇀}{O B}$ 的夹角为135°.若 $\overset{⇀}{O C} = m \overset{⇀}{O A} + n \overset{⇀}{O B} (m ， n \in R)$ ，则 $m + n =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ .
（Ⅰ）求 $tan α$ 的值；
（Ⅱ）求 $\frac{sin (π - 2 α)}{cos 2 α + sin 2 α + 1}$ 的值.

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18. 已知两个非零向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ .
（Ⅰ）若向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 是夹角为120°的单位向量，试确定实数 $k$ ，使 $k \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 和 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 垂直；
（Ⅱ）若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{B C} = 2 \overset{⇀}{a} + 6 \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{C D} = 2 (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，求证： $A ， B ， D$ 三点共线.

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19. 中国共产党第十九次全国代表大会于2017年10月18日至10月24日在北京召开，会议提出“决胜全面建成小康社会”.某市积极响应开展“脱贫攻坚”，为2020年“全面建成小康社会”贡献力量.为了解该市农村“脱贫攻坚”情况，从某县调查得到农村居民2011年至2017年家庭人均纯收入 $y$ （单位：百元）的数据如下表：
注：小康的标准是农村居民家庭年人均纯收入达到8000元.
（Ⅰ）求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，预测2020年该县农村居民家庭年人均纯收入指标能否达到“全面建成小康社会”的标准？
附：回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，其中 $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 385$ .

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20. 某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数.
⑴ ${sin}^{2} 10 ° + {sin}^{2} 70 ° - sin 10 ° sin 70 °$
⑵ ${sin}^{2} 20 ° + {sin}^{2} 80 ° - sin 20 ° sin 80 °$
⑶ ${sin}^{2} 30 ° + {sin}^{2} 90 ° - sin 30 ° sin 90 °$
⑷ ${sin}^{2} (- 13 °) + {sin}^{2} 47 ° - sin (- 13 °) sin 47 °$
⑸ ${sin}^{2} (- 78 °) + {sin}^{2} (- 18 °) - sin (- 78 °) sin (- 18 °)$
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论.

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21. 2018年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.
（Ⅰ）求 $a ， b$ 的值，并作出这些数据的频率分布直方图；
（Ⅱ）假设每组数据组间是平均分布的，试估计该组数据的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）现从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这6人中选拔2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 cos x \cdot sin (x + \frac{π}{3}) - 2 \sqrt{3} {cos}^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in R$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，所得图象对应的函数为 $h (x)$ ，若关于 $x$ 的方程 $2 {[h (x)]}^{2} + m h (x) + 1 = 0$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不相等的实根，求实数 $m$ 的取值范围.

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