2016-2017学年广东省清远市清城区高二上学期期末数学试卷（理科B卷）

试卷更新日期：2017-02-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知全集U=R，A={x|x²+2x≤0}，B={x|x＞﹣1}，则集合∁_U（A∩B）=（）

A、（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞） B、（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C、（﹣1，0] D、[﹣1，0）

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2. 复数z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ=（）

A、﹣ $\frac{5}{2}$ B、﹣ $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（   ）
①y=f（|x|）
②y=f（﹣x）
③y=xf（x）
④y=f（x）﹣x．

A、①③ B、②③ C、①④ D、②④

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4. 等比数列{a_n}中，a₃=5，a₈=2，则数列{lga_n}的前10项和等于（）

A、2 B、5 C、10 D、lg50

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5. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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6. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S_k_﹣₁=﹣3，S_k=0，S_k₊₁=4，则k=（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7. 在△ABC中，∠ABC=90°，AB= $\sqrt{3}$ ，BC=2，点P为△ABC内一点，若∠BPC=90°，PB=1，则PA=（）

A、4﹣ $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、1

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8. 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上， $\vec{B E}$ =λ $\vec{B C}$ ， $\vec{D F}$ =μ $\vec{D C}$ ，若 $\vec{A E}$ • $\vec{A F}$ =1， $\vec{C E}$ • $\vec{C F}$ =﹣ $\frac{2}{3}$ ，则λ+μ=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{7}{12}$

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9. 若不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 1 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y + \frac{1}{2} \geq 0 \end{matrix}$ 表示的区域Ω，不等式（x﹣ $\frac{1}{2}$ ）²+y² $\leq \frac{1}{4}$ 表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）

A、114 B、10 C、150 D、50

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10. 已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1+ $\sqrt{2}$ D、1+ $\sqrt{3}$

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11. 在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）

A、11π B、7π C、 $\frac{10 π}{3}$ D、 $\frac{40 π}{3}$

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | \ln x | ， x > 0 \\ x^{2} + 4 x + 1 ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若关于x的方程f²（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

13. 如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x²和y=x $^{\frac{1}{2}}$ 围成的封闭图形的概率为．

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14. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是

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15. 在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为

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16. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | x^{2} + 5 x + 4 | ， x \leq 0 \\ 2 | x - 2 | ， x > 0 \end{matrix}$ ，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．

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三、解答题

17. 如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC= $\sqrt{3}$ DC．
（Ⅰ）若∠DAC=30°，求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且AD= $\sqrt{2}$ ，求DC的长．

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18. 某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：
男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．
女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．

(1)、求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；

(2)、在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；

(3)、若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．

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19. 设函数f（x）= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cos2x+sin²（x+ $\frac{π}{4}$ ）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{5 π}{12}$ ）时，求f（x）的取值范围．

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20. 已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂ ， a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n ，其前n项和为S_n ，若（n﹣1）²≤m（S_n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+ $\sqrt{6}$ =0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围；

(3)、若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

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22. 已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线 c₁： ${\begin{matrix} x = 3 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{matrix}$ （α为参数）．
（Ⅰ）求曲线c₁的普通方程；
（Ⅱ）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．

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