2016-2017学年广东省清远市清城区高二上学期期末数学试卷（理科A卷）

试卷更新日期：2017-02-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. i是虚数单位，复数 $\frac{7 + i}{3 - 4 i}$ =（）

A、1﹣i B、﹣1+i C、 $\frac{17}{25}$ + $\frac{31}{25}$ i D、﹣ $\frac{17}{7}$ + $\frac{25}{7}$ i

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2. 变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ \begin{array}{l} x - y - 2 \leq 0 \\ y \geq 1 \end{array} \end{matrix}$ ，则目标函数z=x+3y的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 设p：x²﹣3x+2＞0，q： $\frac{x^{2} - 1}{| x | - 2}$ ＞0，则p是q（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数f（x）=log_0.5（x²﹣4）的单调减区间为（）

A、（﹣∞，0） B、（0，+∞） C、（﹣∞，﹣2） D、（2，+∞）

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5.
如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣ $\frac{3}{2}$ x²+ $\frac{1}{2}$ x+1上，则f（x）=（）

A、 $f (x) = \sin (\frac{1}{6} x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{6})$

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6. 二项式 ${(a x - \frac{\sqrt{3}}{6})}^{3}$ （a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\int_{- 2}^{a} x^{2}$ dx的值为（）

A、3或 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、3 D、3或 $- \frac{10}{3}$

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7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）

A、10+4 $\sqrt{3}$ +4 $\sqrt{2}$ B、10+2 $\sqrt{3}$ +4 $\sqrt{2}$ C、14+2 $\sqrt{3}$ +4 $\sqrt{2}$ D、14+4 $\sqrt{3}$ +4 $\sqrt{2}$

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8. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）

A、150 B、180 C、200 D、280

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9. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归直线方程 $\hat{y}$ =0.72x+58.4．
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y
71
76
79
89
表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（）

A、85 B、86 C、87 D、88

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10. （x+ $\frac{a}{x}$ ）（3x﹣ $\frac{2}{x}$ ）⁵的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）

A、2520 B、1440 C、﹣1440 D、﹣2520

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11. 圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的 $\frac{3}{2}$ 倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12. 下列四个命题中，正确的有（）
①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x²+x+1＞0”；
③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；
④若函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．

A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3个

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（2，1）， $\vec{b}$ =（x，﹣1），且 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则x的值为

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14. 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=

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15. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2} x^{2}$ +2ax﹣lnx，若f（x）在区间 $[\frac{1}{3} ， 2]$ 上是增函数，则实数a的取值范围是．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y²=20x的准线上，则双曲线的方程为．

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三、解答题

17. 如图所示，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB₁A₁为菱形，∠DAB=∠DAA₁ ．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥BC；
（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A₁AB=60°，点D在平面ABB₁A₁上的射影恰为线段A₁B的中点，求平面DCC₁D₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的大小．

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18. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为 $4 \sqrt{2}$ ，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C₁的顶点．
（Ⅰ）求C₁与C₂的标准方程；
（Ⅱ）C₁上不同于F的两点P，Q满足 $\vec{F P} \cdot \vec{F Q} = 0$ ，且直线PQ与C₂相切，求△FPQ的面积．

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19. 现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．

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20. 国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于某种原因，成绩表（如表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．
甲
乙
丙
丁
物理成绩（x）
75
m
80
85
化学成绩（y）
80
n
85
95
综合素质
（x+y）
155
160
165
180

(1)、请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n；

(2)、在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．

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21. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．

(1)、求三棱锥S﹣FAC的体积；

(2)、求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．

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22. 已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．

(1)、若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；

(2)、若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．

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	甲	乙	丙	丁
物理成绩（x）	75	m	80	85
化学成绩（y）	80	n	85	95
综合素质（x+y）	155	160	165	180

零件数x（个）	10	20	30	40	50
加工时间y	71	76	79		89