2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高三下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-02-22 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知M，N是两个集合，定义集合N*M={x|x=y﹣z，y∈N，z∈M}，若M={0，1，2}，N={﹣2，﹣3}，则N*M=（）

A、{2，3，4，5} B、{0，﹣1，﹣2，﹣3} C、{1，2，3，4} D、{﹣2，﹣3，﹣4，﹣5}

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2. 复数z=a+bi（a，b∈R，b≥0），若|z|= $\sqrt{5}$ ，z+ $\bar{z}$ =2，则z的虚部是（）

A、±2 B、2 C、2i D、1

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3. 函数f（x）=5^|^x^|向右平移1个单位，得到y=g（x）的图像，则g（x）关于（）

A、直线x=﹣1对称 B、直线x=1对称 C、原点对称 D、y轴对称

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4. 阅读如图所示的程序框图，当输出的结果S为0时，判断框中应填（）

A、n≤4 B、n≤5 C、n≤7 D、n≤8

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是 $\sqrt{3}$ ，则双曲线C的方程为（）

A、x²﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣y²=1 C、 $\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}$ ﹣y²=1 D、x²﹣ $\frac{y^{2}}{9}$ =1

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6. 已知a是任意实数，则关于x的不等式（a²﹣a+2016）^x2＜（a²﹣a+2016）^2x⁺³的解集为（）

A、（3，+∞） B、（﹣1，3） C、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D、与a的取值有关

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7. 在二项式（4x²﹣2x+1）（2x+1）⁵的展开式中，含x⁴项的系数是（）

A、16 B、64 C、80 D、256

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8. 根据历年统计资料，我国东部沿海某地区60岁以上的老年人占20%，在一个人是60周岁以上的条件下，其患高血压的概率为45%，则该地区一个人既是60周岁以上又患高血压的概率是（）

A、45% B、25% C、9% D、65%

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9. 如图1是一个正三棱柱被平面A₁B₁C₁截得的几何体，其中AB=2，AA₁=3，BB₁=2，CC₁=1，几何体的俯视图如图2，则该几何体的正视图是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（）

A、 $\frac{π}{3}$ ＜α≤ $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ ＜α＜π C、 $\frac{π}{3}$ ≤α＜π D、 $\frac{π}{3}$ ＜α≤ $\frac{2 π}{3}$

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11. 抛物线y²=4x的准线与x轴交于A点，焦点是F，P是位于x轴上方的抛物线上的任意一点，令m= $\frac{| P F |}{| P A |}$ ，当m取得最小值时，PA的斜率是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知ω＞0，函数f（x）=sinωx+ $\sqrt{3}$ cosωx在（0， $\frac{π}{2}$ ）上单调递增，则ω的取值范围是（）

A、0＜ω≤ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ ＜ω≤ $\frac{1}{3}$ C、0＜ω≤ $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{12}$ ＜ω≤ $\frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 设实数x，y满足|x﹣1|+|y﹣1|≤1，A（1，0），P（x，y），则 $\vec{O A} \cdot \vec{O P}$ 的取值范围是（用区间表示）．

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14. 过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且两两夹角都为60°，若球半径为3，则弦AB的长度为

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15. 在已知空间四边形ABCD中，E、F分别是棱AB、CD的中点，若2EF=BC，且异面直线EF与BC所成的角为60°，则AD与BC所成的角是

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16. 在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣1，0）和C（1，0），顶点B在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上，则 $\frac{\sin A + \sin C}{\sin B}$ 的值是．

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三、解答题

17. 设数列{a_n}的前项和为S_n ，若点A_n（n， $\frac{S_{n}}{n}$ ）在函数f（x）=﹣x+c的图像上运动，其中c是与x无关的常数且a₁=3．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=tana_n₊₁•tana_n ， tan195+tan3=atan2，求数列{b_n}的前99项和（用含a的式子表示）．

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18. 为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品分微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100

(1)、根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？

(2)、现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜各1份，再从抽取的这5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列和数学期望．
参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d
参考数据：
P（K²≥k₀）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k₀
0.455
0.708
1.321
3.840
5.024
6.635

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19. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= $\sqrt{2}$ ，AF=1，M是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A﹣DF﹣B的大小．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4}$ +y²=1，A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD相交于原点O，设A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）满足 $\frac{y_{1} y_{2}}{\vec{O A} \cdot \vec{O B}}$ = $\frac{1}{5}$ ．

(1)、求证： $\vec{A B}$ + $\vec{C D}$ = $\vec{0}$ ；

(2)、k_AB+k_BC的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则，请说明理由．

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21. 设函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图像与x轴相切于M（3，0）．

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由．

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22. 如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．

(1)、求证：AE=EB；

(2)、求EF•FC的值．

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23. 平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} + t \cos \frac{π}{4} \\ y = t \sin \frac{π}{4} \end{matrix}$ （t为参数），以射线ox为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是 $\frac{ρ^{2} \cos^{2} θ}{4}$ +ρ²sin²θ=1．

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．

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24. 根据题意解答

(1)、若f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，求不等式f（x）≥5的解集；

(2)、若g（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）且∃x∈R使得f（x）≤4成立，求a的取值范围．

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	微信控	非微信控	合计
男性	26	24	50
女性	30	20	50
合计	56	44	100

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k₀	0.455	0.708	1.321	3.840	5.024	6.635