2016-2017学年广东省深圳市南山区高一上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2017-02-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={0，2，4}，则（∁_UA）∩B等于（）

A、{0，4} B、{0，3，4} C、{0，2，3，4} D、{2}

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2. 函数y=1﹣2^x的值域为（）

A、[1，+∞） B、（1，+∞） C、（﹣∞，1] D、（﹣∞，1）

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3. 直线3x+ $\sqrt{3}$ y+1=0的倾斜角是（　　）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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4. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、9π B、18π C、27π D、54π

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5. 下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的为（）

A、 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ B、y=x^﹣² C、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ D、y=x²

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6. 已知直线l₁：3x+2y+1=0，l₂：x﹣2y﹣5=0，设直线l₁ ， l₂的交点为A，则点A到直线 $l_{0} ： y = - \frac{3}{4} x - \frac{5}{2}$ 的距离为（）

A、1 B、3 C、 $\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{15 \sqrt{7}}{7}$

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7. 方程 $l n x - \frac{1}{x} = 0$ 的实数根的所在区间为（）

A、（3，4） B、（2，3） C、（1，2） D、（0，1）

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8. 计算 ${(\frac{16}{9})}^{- \frac{1}{2}} + 3^{\log_{3} \frac{1}{4}} - \lg 5 + \sqrt{{(\lg 2)}^{2} - \lg 4 + 1}$ 其结果是（）

A、﹣1 B、1 C、﹣3 D、3

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9. 已知b＞0，log₃b=a，log₆b=c，3^d=6，则下列等式成立的是（）

A、a=2c B、d=ac C、a=cd D、c=ad

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10. 已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：
①存在一条直线a，使得a⊥α，a⊥β；
②存在两条平行直线a，b，使得a∥α，a∥β，b∥α，b∥β；
③存在两条异面直线a，b，使得a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；
④存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β．
其中可以推出α∥β的条件个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 设集合A={x|2^x≤8}，B={x|x≤m²+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）

A、[﹣2，1） B、[﹣2，1] C、[﹣2，﹣1） D、[﹣1，1）

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12. 定义函数序列： $f_{1} (x) = f (x) = \frac{x}{1 - x}$ ，f₂（x）=f（f₁（x）），f₃（x）=f（f₂（x）），…，f_n（x）=f（f_n_﹣₁（x）），则函数y=f₂₀₁₇（x）的图像与曲线 $y = \frac{1}{x - 2017}$ 的交点坐标为（）

A、 $(- 1 ， - \frac{1}{2018})$ B、 $(0 ， \frac{1}{- 2017})$ C、 $(1 ， \frac{1}{- 2016})$ D、 $(2 ， \frac{1}{- 2015})$

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二、填空题

13. 函数y= $\sqrt{2 - x}$ +1g（x﹣1）的定义域是．

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14. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} x - \frac{3}{x} ， x > 0 \\ x^{2} - \frac{1}{4} ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，则方程f（x）=2的所有实数根之和为．

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15. 设点A（﹣5，2），B（1，4），点M为线段AB的中点．则过点M，且与直线3x+y﹣2=0平行的直线方程为．

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16. 下列命题中
①若log_a3＞log_b3，则a＞b；
②函数f（x）=x²﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；
③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；
④函数 $h (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{e^{x}}$ 既是奇函数又是减函数．
其中正确的命题有

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三、解答题

17. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中：
（Ⅰ）求证：AC∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）求证：平面A₁BC₁⊥平面BB₁D₁D．

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18. 已知过点P（m，n）的直线l与直线l₀：x+2y+4=0垂直．
（Ⅰ）若 $m = \frac{1}{2}$ ，且点P在函数 $y = \frac{1}{1 - x}$ 的图像上，求直线l的一般式方程；
（Ⅱ）若点P（m，n）在直线l₀上，判断直线mx+（n﹣1）y+n+5=0是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + (1 - a) x$ （其中a为非零实数），且方程 $x f (\frac{1}{x}) = 4 x - 3$ 有且仅有一个实数根．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

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20. 研究函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} - 4}$ 的性质，并作出其图像．

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21. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD的中点．如图将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

(1)、求证：BM⊥平面ADM；

(2)、若点E是线段DB上的中点，求三棱锥E﹣ABM的体积V₁与四棱锥D﹣ABCM的体积V₂之比．

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22. 已知函数f（x）=x²+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图像先向右平移a个单位长度，再向下平移a²个单位长度，得到函数g（x）的图像．
（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x₁ ， x₂ ，且x₁＜4＜x₂ ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有 $\frac{μ - λ}{n - m} > 8$ ，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．

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